2017第八届蓝桥杯省赛-大学B组 k倍区间(数论)

描述

给定一个长度为N的数列，A1, A2, … AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, … Aj(i <=
j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。

你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入

第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000) 以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <=
100000)

输出

输出一个整数，代表K倍区间的数目。

输入：

5 2
1  
2  
3  
4  
5  

输出：

6

资源约定： 峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M CPU消耗 < 2000ms

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。

注意： main函数需要返回0; 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准; 不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include 不能通过工程设置而省略常用头文件。

提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。

思路

要计算任意两个区间的和，很容易想到的是前缀和,知道前缀和以后要求区间[l,r]的和可以很容易的通过sum[r]-sum[l-1]的方式来求，但是求完前缀和以后既然要是任意区间，那么肯定不可以枚举两个端点，这样复杂度就变成了 O(n2) $O(n^2)$，身为蓝桥杯的压轴题肯定不可行，我们可以考虑一个变形:

(sum[r]−sum[l−1])%k=sum[r]%k−sum[l−1]%k $$(sum[r]-sum[l-1])\mathrm{\%}k=sum[r]\mathrm{\%}k-sum[l-1]\mathrm{\%}k$$

等价于

sum[r]%k==sum[l−1]%k $$sum[r]\mathrm{\%}k==sum[l-1]\mathrm{\%}k$$

所以我们只需要在求前缀和的时候顺便模k，对于最后的结果，如果值为0，那么证明这个区间一定是k的倍数，所以这段区间肯定在内，那么对于不为0的情况，只要两个前缀和的值相等，那么这两段区间相减也是k的倍数，所以只需要统计一下(类似桶排)相同的前缀和个数，对于这个值 n∗(n−1)2 $\frac{n\ast (n-1)}{2}$ 就是有多少个区间。

要注意给0这个端点的值+1，因为计算前缀和的时候，第一个0没有被计算,是存在区间长度为1的数据能整除k .

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=100000+10;
ll sum[N],a[N],c[N];
int main()
{
    ll n,k;
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    for(ll i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
        sum[i]=(sum[i-1]+a[i])%k;
    }
    c[0]=1;
    for(ll i=1; i<=n; i++)
        c[sum[i]]++;
    ll ans=0;
    for(ll i=0; i<k; i++)
        ans+=c[i]*(c[i]-1)/2;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}