luogu P2742 【模板】二维凸包

时间：2023-03-09 22:58:21
luogu P2742 【模板】二维凸包

嘟嘟嘟



没错，我开始学凸包了。

其实挺简单的。



前置技能：

1.极坐标系

2.向量叉积



1.极坐标系

就是一种二维坐标系。只不过两个坐标分别表示向量和极轴的角度和自身的长度。对于不同的问题，极轴可以自己选取。

2.向量叉积

不说了



算法是\(Graham\)扫描法，下面讲一下实现步骤：

1.在所有点中找到横坐标最小的点作为极点，如果有多个，取纵坐标最小的点。

2.对于其他\(n -1\)个点进行极角排序，极角相同比较到极点距离。

排完序后的图大概是这个样子的：

luogu P2742 【模板】二维凸包

其中的字母就是排完序后的序号。

3.然后维护一个栈，对于每一个点，比较他和栈顶的两个点构成的线段，如果在线段的右边，就把栈顶弹出，直到栈中只剩一个元素或该点在线段右边为止。

4.最后栈中的元素就是凸包的顶点。



再补充几点：

1.极角排序的函数怎么写。

对于极点\(A\)和要排序的两个点\(B, C\)。就是看\(C\)在\(AB\)的上方还是下方。这个用叉积判断即可。如果\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} < 0\)，说明\(C\)在\(AB\)下方，反之亦然。

如果叉积等于\(0\)，比较到\(A\)点距离。

2.判断点\(i\)在栈顶两个元素所成直线的左右。

跟上面一样，叉积。

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cstdlib>

#include<cctype>

#include<vector>

#include<stack>

#include<queue>

using namespace std;

#define enter puts("")

#define space putchar(' ')

#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))

#define rg register

typedef long long ll;

typedef double db;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

const db eps = 1e-8;

const int maxn = 1e4 + 5;

inline ll read()

{

  ll ans = 0;

  char ch = getchar(), last = ' ';

  while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();

  while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();

  if(last == '-') ans = -ans;

  return ans;

}

inline void write(ll x)

{

  if(x < 0) x = -x, putchar('-');

  if(x >= 10) write(x / 10);

  putchar(x % 10 + '0');

}

int n;

struct Vec

{

  db x, y;

  db operator * (const Vec& oth)const

  {

    return x * oth.y - oth.x * y;

  }

  friend inline db dis(const Vec& A)

  {

    return A.x * A.x + A.y * A.y;

  }

};

struct Point

{

  db x, y;

  int id;

  Vec operator - (const Point& oth)const

  {

    return (Vec){x - oth.x, y - oth.y};

  }

  friend void swap(Point& A, Point& B)

  {

    swap(A.x, B.x); swap(A.y, B.y);

  }

}p[maxn], S;

inline bool cmp(Point A, Point B)

{

  db s = (A - S) * (B - S);

  if(fabs(s) > eps) return s > eps;

  return dis(A - S) - dis(B - S) < -eps;

}

db solve(Point A, Point B, Point C)

{

  return (B - A) * (C - A);

}

void init()

{

  int id = 1;

  for(int i = 2; i <= n; ++i)

    if(p[i].x < p[id].x - eps || (fabs(p[i].x - p[id].x) < eps && p[i].y < p[id].y)) id = i;

  if(id != 1) swap(p[1], p[id]);

  S.x = p[1].x; S.y = p[1].y;

  for(int i = 1; i <= n; ++i) p[i].id = i;

  sort(p + 2, p + n + 1, cmp);

}

int st[maxn], top = 0;

db ans = 0;

int main()

{

  n = read();

  for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);

  init();

  st[++top] = 1;

  for(int i = 2; i <= n; ++i)

    {

      while(top > 1 && solve(p[st[top - 1]], p[st[top]], p[i]) < -eps) top--;

      st[++top] = i;

    }

  st[top + 1] = st[1];

  for(int i = 1; i <= top; ++i)

    ans += sqrt(dis(p[st[i + 1]] - p[st[i]]));

  printf("%.2lf\n", ans);

  return 0;

}

然后我因为极点没赋初值\(Debug\)了不知多长时间……

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