蓝桥杯-四阶幻方

标题：四阶幻方

把1~16的数字填入4x4的方格中，使得行、列以及两个对角线的和都相等，满足这样的特征时称为：四阶幻方。
四阶幻方可能有很多方案。如果固定左上角为1，请计算一共有多少种方案。

比如：

  12 15 16
  12 143 5
  13 710  4
  8 116 9
以及：
   1 12 13 8
  2 147 11
  15 310 6
  16 54 9

就可以算为两种不同的方案。

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/*
	==这里还是用了回溯法，回溯法最重要的是找到逻辑上的前进选择路线，
	含递归的性质。这里的选择是1——16的数字，每个节点逻辑上就是从这
	些数字来选择路线，比如1，后面选择2-15（到这是纯粹的回溯）。而这条路线受题目中的格子的
	 条件所约束，如每行=34，可以理解为递归了4层的和必须=34，这可以成为递归条件。

	==由于这里复杂度大，要根据这些条件进行剪枝，剪枝时，要找到当前尽可能多的条件，再来比较可能的限制。 
	 如当前行的和>34,后面必定>34,所以不必再搜索， 
	 	if(current>34)return; //剪枝 
		if(j_temp==3&¤t+k!=34)continue;

	==还有要注意临界情况的处理，总之，回溯法对每一步骤要求清晰。 
*/ 

#include<iostream>
using namespace std;
int v[18];
int a[4][4];
__int64 ans;

//judge,若不符合列，对角线条件return 0，否则return 1 
int judge(){
	//列判断 
	for(int i=0;i<4;i++){
		int sum3=0;
		for(int j=0;j<4;j++){
			sum3+=a[j][i];
		}
		if(sum3!=34)return 0;
	}
	//对角线判断 
	int sum4=a[0][0]+a[1][1]+a[2][2]+a[3][3];
	if(sum4!=34)return 0;
	int sum5=a[0][3]+a[1][2]+a[2][1]+a[3][0];
	if(sum5!=34)return 0;
	return 1; 
}

void dfs(int i,int j,int current){
	if(i==3&&j==3){ 
		if(judge())
			ans++;
		return;
	}
	int i_temp,j_temp;//i_temp,j_temp为将要前进的格子的下标 
	if(j==3){
		i_temp=i+1;j_temp=0;
	}else if(j<3){
		i_temp=i;j_temp=j+1;
	}
	for(int k=2;k<=16;k++){
		//剪枝 
		if(current>34)return; 
		if(j_temp==3&¤t+k!=34)continue;
		if(!v[k]){//若前面未使用过数字 k，则进行复制，递归 
			v[k]=1;
			a[i_temp][j_temp]=k;
			if(j_temp<3)
				dfs(i_temp,j_temp,k+current);
			else
				dfs(i_temp,j_temp,0);
			//回溯时要特别注意还原一些变量。这里其实也可不执行a[i_temp][j_temp]=0; 
			//因为current总是记录当前行能递归的格子的当前总值，一旦能递归，由a[i_temp][j_temp]=k;覆盖原值 
			a[i_temp][j_temp]=0; 
			v[k]=0;
		}
	}
}

int main(){
	v[1]=1;
	a[0][0]=1;
	dfs(0,0,1);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
} 

//答案为：416

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