机器学习之梯度下降法数学推导--回归

前言

本来对数学没什么感觉的，但是停摆了一年复习考研，于是开始对数学有些感觉了，之前看到《机器学习实战》中第五章中梯度上升法，使用了一个它所谓的十分简单的推导，一直好奇怎么个简单法，于是重新学习机器学习的相关算法，这次将主推数学推导。

有监督回归算法

在机器学习中，多元线性回归模型是经常使用的模型，比如在吴恩达《斯坦福机器学习》中的例子，我们需要根据已有的房价信息预测当前房子的房价，于是我们收集到一些房价数据。

机器学习之梯度下降法数学推导--回归

再将它们画在二维坐标上，它们就以离散的点分布在平面上，如下所示
机器学习之梯度下降法数学推导--回归

我们希望能根据这些已知的点来预测我们想知道的房子的房价，因此我们需要找到一条规律，也就是一条大致经过这些点的线性模型，在数学上我们通常称之为拟合，而这个拟合的过程，我们称之为回归。

机器学习之梯度下降法数学推导--回归

假设我们建立的模型是一元一次的，将得到这样的拟合结果，于是我们可以x轴上的房屋面积，找到对应的房屋价格。

有监督的学习算法，可以理解成我们训练模型的时候每一个输入都是有标准答案的，我们通过预测值跟标准答案的比对，不断修改模型的参数才能最终实现较好地的拟合结果。

最小二乘法

最小二乘法是我们经常使用的拟合算法，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

    以我们《机器学习实战》第五章作例子，我们假设的模型为z，于是函数即可设为
$z = w 0 + w 1 x 1 + w 2 x 2 + w 3 x 3 + . . . . + w n x n = w 0 x 0 + w 1 x 1 + w 2 x 2 + w 3 x 3 + . . . . + w n x n (x 0 = 1) (1)$
    这种写法也可以表示为向量的写法:
$z = w T x = [w 0 w 1 . . . w n] ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ x 0 x 1 . . . x n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ (2)$
    同样的道理，我们也可以这样子表示
$z = x T w = [x 0 x 1 . . . x n] ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ w 0 w 1 . . . w n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ (3)$

刚才我们也提到了，最小二乘法拟合的原理是最小化误差的平方和，我们将这个平方和称为损失函数，跟我们平时常用的方差类似，当这个损失函数越小，我们的模型就越能跟离散的点匹配起来:
$f (w) = 1 2 \sum i = 1 m (z w (x i) - y j) 2 (4)$
其中的y表示我们给出的标准的特征 ⎡⎣⎢⎢⎢⎢y0y1...ym⎤⎦⎥⎥⎥⎥

因为梯度上升算法是用来计算函数的最大值的，而梯度下降算法则是计算函数最小值的。而我们的损失函数自然是越小越好，我们需要求得一个系数来使得f(w)最小，可是使用梯度上升法是用于求最大值的，因此为了用上梯度上升算法，我们最终应该在f(w)前加上负号。假设:
$J (w) = - f (w) (5)$
接下来我们开始利用矩阵来推算我们的数学公式，因为原始的公式用来做迭代计算会很不方便，因此我们需要一个等价的公式来让我们的算法更加高效，就例如《机器学习实战》chapter5中的那样。假设我们的输入为X,我们有m组训练数据，每个数据有n个特征。则:
$X = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ x 11 x 21 . . . x m 1 x 12 x 22 . . . x m 2 . . . . . . . . . . . . x 1 n x 2 n . . . x m n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ x T 1 x T 2 . . . x m ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ (6)$
于是通过（3）可以推出
$X w = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ x T 1 x T 2 . . . x T m ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ w = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ x T 1 w x T 2 w . . . x T m w ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ z w (x 1) z w (x 2) . . . z w (x m) ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ (7)$
$X w - y \to = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ x T 1 w x T 2 w . . . x T m w ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ - ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ y 1 y 2 . . . y m ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ z w (x 1) - y 1 z w (x 2) - y 2 . . . z w (x m) - y m ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ (8)$
由矩阵内积可得
$∵ z T z = \sum i n z 2 i$
$∴ 1 2 (X w - y \to) T (X w - y \to) = 1 2 \sum i = 1 n (z w (x i) - y i) 2 = f (w)$
则梯度为
$\nabla w f (w) = \nabla w 1 2 (X w - y \to) T (X w - y \to) = 1 2 \nabla w (w T X T X w - w T X T y \to - y \to T X w + y \to T y \to) = 1 2 \nabla w t r (w T X T X w - w T X T y \to - y \to T X w + y \to T y \to) = 1 2 \nabla w (t r w T X T X w - 2 t r y \to T X w) = 1 2 (X T X w + X T X w - 2 X T y \to) = X T X w - X T y \to = X T (X w - y \to) = > J (w) = - f (w) = X T (y \to - X w)$
说明：
第二步：类似于括号展开
第三步:实数的迹等于它本身
第四步:因为 y→Ty→ 不含w，因此它对w求导为0.并且利用了公式 trA=trAT 进行简化。
第五步:利用公式 ∇ATtrABATC=BTATCT+BATC ,令 AT=w,B=BT=XTX,C=I ,利用公式转化即可得到。

最后再回到《机器学习实战》中，P78,代码清单5-1②的部分。
dataMatrix=X;
weights=w;
labelMat=y;
把等号右边的用左边的变量代入，不过很遗憾，还是有些区别的，在《机器学习实战》一书中，还有sigmoid这一函数，查阅了一些资料，发现其实还是有些区别的，将于下一篇博文中阐明。

参考

吴恩达《机器学习》notes1
周志华《机器学习》chapter3 线性模型

来源

http://csuncle.com/2017/06/13/《机器学习实战》-chapter5梯度上升算法-数学推导/

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