【笔记】【线性代数的本质】10

时间:2023-02-24 19:21:51

笔记目录


概念

对于一个变换矩阵来说,某些向量在该矩阵作用下仍停留在原向量张成的空间中,则这些向量被称为这个矩阵的特征向量,它们缩放的倍数叫作特征值

特征值计算过程的理解

如下,求矩阵A的特征向量v和特征值\(\lambda\)
【笔记】【线性代数的本质】10
\(Av=(\lambda I)v\)
\((A-\lambda I)v=\vec{0}\)
如果向量v为0向量的话,对于任意\(\lambda\)均成立。
否则,只有当\((A-\lambda I)\)将空间压缩,也就是
\(|(A-\lambda I)|=0\)
的情况下等式才成立。

性质:

  • 对于旋转矩阵,计算出的特征值是复数,不存在特征向量。
  • 一个矩阵如果只有一个特征值,可能有多个特征根,比如同时将向量伸长2倍的矩阵。

特征基(Eignbasis)

对角矩阵

对于一个矩阵来说,如果当前坐标系的所有基向量都是该矩阵的特征向量,则该变换矩阵会是对角矩阵-除了对角以外其它元素均为0。

对角矩阵的性质

计算一个对角矩阵的高次幂时,只要将对角上的元素乘以特征值的相应次幂即可,如下:
\(A^n=\lambda ^nA\)

利用上一节矩阵相似的公式,可以将不是对角矩阵的矩阵对角化后以计算高次幂。