射影几何：基本形有几种？

射影几何：基本形有几种？

      大家知道，欧氏几何中有元素（elements）、图形（figures）、空间（spaces）三个概念，它们也非常容易区分：点是元素，它是欧氏几何中唯一的一种元素；而直线上A，B两点间的一段线、平面上的一块面积（如一方块或圆块）或空间中的一块（如一4面体、立方体或球体），都被看成由相互连续的点组成的一个集合，统称图形。（自然，不连续的一些点也可组成集合，但在几何中不作作讨论对象。）图形是有维（dimension）数的，如线段、方块、立方体分别为1、2、3维图形；而容纳图形的场所叫空间，也分1、2、3维三种：一维的叫直线、2维叫平面、3维的就叫空间（或3维空间）。图形也可根据其占有的空间而分别称为直线图、平面图和空间图（常称立体图）。但高维空间中不一定仅仅容纳同维的图形，任意小于等于空间维数的图形都可以在此空间表示：如平面上除了表示一块面，也可表示一段线；3维空间除了可表示各种立体图形外，也可表示一段线，或一块面。

       射影几何中同样也有元素、图形、空间等概念，但不同于欧氏几何，它把直线（指无穷直线）、平面（指无穷平面）和点一样看成元素，用来组成高维或同维或低维的新集合，如：

        通过 平面上一固定点作此平面的所有直线 ， 就是由 直线组成的一个新的集合；

      通过空间中2固定点作的所有平面，就是由平面形成的新集合。

      对于这类无穷集也有维（dimension）或称阶（order ），或级（grade）的概念，上面所举2个集合都是1维或一阶的【注：这类无穷集的维数可以小于其元素的维数，而容纳这类无穷集合的空间的维数则应大等于这类无穷集合的维数。】

       由于射影几何中增加了直线、平面两种元素，这样，由新、旧元素组成的集合种类远远多于欧氏几何中仅仅由点组成的直线、平面和空间三种集合，这样就需要一个新的名字来称呼它，这就是所谓的基本形，我们把这所有由单种元素形成的无穷集合统称为基本形。这是欧氏几何中没有也不需要有的一个新概念。

       如上所述，基本形既是无穷集，就会有维数的概念。维（dimension）有人称它是阶（order）或级（grade），很不统一，不像欧氏几何那么简单。

      基本形是一十分基本的概念，可以说，射影几何中讨论的一切其他概念都回绕这一概念而转的，但有关它，不同作者有不同的理解，甚至连名称（英文名）也很不统一， 有的叫 primary form（Cremonna），有的则叫 primitive form （如  Smart、 Veblen ），有的叫 prime form （Reye），还有的叫 fundamental form（Lehmer）。基本形一共有几种？说法也不统一:

       Cremonna和Reye认为有6种，它们分别是：

         1.一根直线上所有点的全体，叫一点列（a range）或一点行（a row）；

         2.空间中通过同一直线（“轴”）的所有平面全体，叫一轴束（an axial pencil）；

         3.平面中通过同一点（“中心”）的所有直线全体，叫一扁平束（a flat pencil）；

         4a. 空间中通过同一点（“中心”）的所有直线全体，叫一线扎或一线 捆 （a sheaf of lines）；

         4b.空间中通过同一点（“中心”）的所有平面全体，叫一面扎或一面捆 （a  sheaf of planes ）；

         5.在空间同一平面上的所有点或直线全体，叫一点平面或一线平面，它们都是平面图形（a plane figure）；

        其中，点列、轴束、扁平束都是一阶的基本形，2种平面系（5.）都是二阶基本形，2种空间系（4a4b）都是三阶基本形。

        Smart[5] 则认为8种基本形：

     (1) A set of points lying on a line called a Range.  （同前）
     (2) A set of concurrent lines lying in a plane called aFlat Pencil（扁平束）, or shortly a  Pencil.  
     (3) A set of planes passing through a line called an Axial Pencil（轴束）. 

     (4) A set of points lying in a plane but not collinear.  （平面不共线的点的集合）
     (5) A set of lines lying in a plane but not concurrent.  （平面不同心的直线的集合）
     (6) A set of concurrent lines not in one plane.（不在同一平面的同心的直线的集合） 
     (7) A set of planes passing through one point.（通过同一点的平面的集合） 
     (8) A set of points, lines and planes in space. （空间的点、线、面的集合）

     其中，1、2、3为1级基本形，4、5、6、7为2级基本形，8为3级基本形。

     这里（8）lines  in space 为3级与 Lehmer说法不同，应为4级。另外，3-8类均没有给专门名称。

     

   Veblen认为有9种基本形，即：

下面3种是第1级（grade）或1维基本形：

     1: A pencil of points（这种称呼少见） or a range is the figure formed by the set of all points on the same line. The line is called the axis of the pencil. the axis of the pencil.
     2: A pencil of lines or arange（与上重） is the figure formed by the set of all lines on the same point. The point is called the center of the pencil. the center of the pencil.
     the pencil of points is the space dual of the pencil of planes.
     3: A pencil of lines or a flat pencil is the figure formed by the set of all lines which are at once on the same point and the same plane ; the point is called the vertex or center of the pencil.

下面是第2级（grade）或2维基本形：

     4:The set of points  on a plane is called a  plane of point, 

        The set of lines  on a plane is called a bound of lines, 

     The point is called the  of base and the two forms. The figure composed of a plane of a points and a plane of lines with the same base is called a plannar field. The set of planes  on a point is called abound of planes, The set of lines  on a point is called a plane of lines, The plane is called the  center of the two forms. The figure composed of a bundle of a lines and a bunle of planes with the same center is called simple a bundle.

而空间的点或面是第3级（grade）或3维基本形:

    5. The set of all planes in space and the set of all points in space are called the primitive geometric forms of the third grade
or of three dimensions.
    * The pencil of planes is also called by some writers a sheaf.


    6 .PRIMITIVE GEOMETRIC FORMS 
There are then, all told, nine primitive geometric forms in a space of three dimensions.*

    Lehmer[4]则对Cremonna的1、2类基本形同样有点列、轴束之称，而把他的第3种基本形扁平束简单地称射线束（a pencil of rays），第4类2种图形合称空间点系（point system）, 而第5类2种图形合称平面系（plane system）。此外还加了一个 空间直线系：即由空间所有直线所组成的集合。即一共有7种基本形。如将点系、平面系都看成2种基本形，则一共是9种基本形。

       其中，点列、轴束、线束都是一阶的基本形，2种平面系都是二阶的基本形，2种空间系都是三阶的基本形，而空间直线系是四阶基本形。

综合大家的讨论，我认为一共是10种基本形：

【注1】以上表格最下面一行是公式的通式：基本形维数 = 基底维数－约束维数，但它不适合第10种基本形

【注2】以上基本形除了１２５三类1维的有专门名称，其余都由该基本形的基底名及组成 元素名拼成，但不要把基本形名与组成元素名２个概念混起来，它们有复数与单数的区别。必要的话可以在基本形名后加个‘系’字，如把“空间点”改为“空间点系”。

【注3】相同维数的基本形之间有可能建立透视对应，如3种1维基本形之间共有6种透视对应，如下图所示：

            

【思考1】一空间直线是2个空间点的连线或2个空间面的交线，而空间点或面都是3维，为什么空间直线系不上6维？

 【提示】参看参考文献6之20小节.

【思考2】为前面表中4种2维基本形相互之间找6种透视对应。

参考资料：

1. Reye：Lectures on the Geometry of Position，chap 1

2.  Cremonna: Elements of Projective Geometry, chapter V，pp22-25

3. Lehmer：An Elementary Course in Synthetic Projective Geometry， chap1

4. Veblen：Introduction of Projective Geometry 上册，chap 5

5. Smart : A first Course in Projective Geometry, chap I

6. http://blog.csdn.net/zzwu/article/details/6068539

（完，待校对）