漫步数学分析九——级数

与 R1 类似，我们可以考虑 Rn 中的级数。

定义9 对于级数 Σ∞k=0xk ，其中 xk∈Rn ，如果它的部分和 sk=Σki=0xi 序列收敛到 x ，那么我们就成该级数收敛到 x∈Rn ，我们写作 Σ∞k=0xk=x 。

如定理8那样， Σ∞k=0xk=x 等价于级数的元素收敛到相应 x 的元素。

应用定理10到 sk 上就得到定理11。

定理11 Rn 中的级数 Σxk 收敛，当且仅当对每个 ε>0 ，存在一个 N 使得 k≥N 时 ∥xk+xk+1+⋯+xk+p∥<ε 对所有整数 p=0,1,2,… 都成立。

特别地，取 p=0 ，我们可以看出如果 Σxk 收敛，那么当 k→∞ 时 xk→0 。

级数 Σxk 绝对收敛，当且仅当实级数 Σ∥xk∥ 收敛。

定理12 如果 Σxk 绝对收敛，那么 Σxk 是收敛的。

这个定理非常有用，因为当判断 Σxk 的收敛性时，我们可以判断 Σ∥xk∥ 的收敛性(利用用ratio test)。当然，即便 Σxk 是收敛的，这种判别方法可能失效，这时候就需要其他的方法来判别。

接下来我们讨论一些非常重要的判别级数收敛的方法。这里先给出一些事实，随后还会给出。

定理13

1. 如果 |r|<1 ，那么级数 Σ∞n=0rn 收敛到 1/(1−r) ；如果 |r|≥1 ，那么该级数发散(不收敛)。
2. 比较测试(comparison test)：如果 Σ∞k=1ak 收敛， ak≥0 并且 0≤bk≤ak ，那么 Σ∞k=1bk 收敛；如果 Σ∞k=1ck 发散， ck≥0 ，并且 0≤ck≤dk ，那么 Σ∞k=1dk 发散。
3. p级数测试：如果 p>1 ，那么级数 Σ∞n=1n−p 收敛；如果 p≤1 ，那么该级数发散到 ∞ (也就是说，部分和递增且没有边界)。
4. 比率测试(ratio test)：假设极限 limn→∞|(an+1/an)| 存在并且小于1，那么级数 Σ∞n=1an 绝对收敛；如果极限大于1，那么级数发散；如果极限等于1，那么该测试失效。
5. 根号测试(root test)：假设极限 limn→∞(|an|)1/n 存在且小于1，那么 Σ∞n=1an 绝对收敛；如果极限大于1，级数发散；如果级数等于1，该测试失效。
6. 积分测试(integral test)：如果 f 是 [1,+∞) 上的连续，非负，单调递减函数，那么 Σ∞n=1f(n) 与 ∫∞1f(x)dx 要么都收敛，要么都发散。

例1： 令 xn=(1/n2,1/n) ， Σxn 收敛吗？

解： 答案为否。因为利用 (iii) ，调和级数 Σ1/n 发散。

例2： 令 ∥xn∥≤1/2n ；证明 Σxn 收敛且 ∥Σ∞0xn∥≤2 。

解： 我们验证定理11的条件，
∥xk+⋯+xk+p∥≤∥xk∥+⋯+∥xk+p∥≤12k+⋯+12k+p≤∑j=k∞12j=12k−1

(几何级数和的公式为 Σ∞0arn=a/(1−r) )，于是给定 ε>0 ，选择一个 N 使得 1/2N−1<ε ，因此 Σxk 收敛。而且，部分和满足
∥sn∥≤∑k=0n∥xk∥≤∑k=0n12k≤2

因此根据上节的例2可知极限 s 也满足 ∥s∥≤2 。我们也可以直接将级数 Σ∥xn∥ 与几何级数 Σ1/2n 比较说明级数的收敛。

例3： 判断级数 ∑∞n=1n/3n 的收敛性。

解： 我们利用比率测试方法：
|an+1an|=n+1n13→13

所以级数收敛。

例4： 判断级数 Σ∞n=1n/(n2+1) 是否收敛。

解： 通过观察可知，对于 x≥1,f(x)=x/(x2+1) 是正且连续的函数。因为 f′(x)=(−x2+1)/(x2+1)2≤0 ，所以 f 是单调递减的。
∫∞1xdxx2+1=limb→∞∫b1xdxx2+1=limb→∞[12log(x2+1)]|b1=limb→∞12log((b2+1)/2)

但是当 b→∞ 时， 12log((b2+1)/2)→∞ ，所以利用积分测试可知该级数发散。也可以用比较法： n/(n2+1)≥n/(n2+n2)=1/2n ，级数 (1/2)Σ1/n 是发散的，所以可得级数是发散的。