集合
A
的内部是
A
的最大开子集，同样地，我们也能构造一个包含
A
的最小闭集，这个集合就成为
A
的闭包(closure)并用
cl(A)
或
A¯
表示。
定义5
令
A⊂Rn
，集合
cl(A)
定义成所有包含
A
的闭集之交(所以根据定理3
(ii)
可得
cl(A)
也是闭的)。
例如
R1
中，
cl((0,1])=[0,1]
，另外注意
A
是闭集当且仅当
cl(A)=A
，
定理5
令
A⊂Rn
，那么
cl(A)
由
A
加上所有
A
的聚点组成。
换句话说，，为了求出集合
A
的闭包，我们需要
A
加上所有不在
A
中的聚点，根据前面给出的实例，定理5在直观上比较明显。
例1：
找出
R
中
A=[0,1)∪{2}
的闭包。
解：
该集合的聚点是[0,1]，所以闭包是
[0,1]∪{2}
，这很明显是包含
A
的最小闭集。
例2：
对于任意
A⊂Rn
，说明
Rn∖cl(A)
是开集。
解：
cl(A)
是闭集，那么它的补是开集。
例3：
cl(A∩B)=cl(A)∩cl(B)
成立吗？
解：
答案为否。例如令
A=[0,1],B=(1,2]
，那么
A∩B=∅
并且
cl(A)∩cl(B)={1}
。
