Bzoj-2818 Gcd 欧拉函数

时间：2024-01-15 15:26:32

　　题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818

　　题意：给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对.

　　其实就是一个转化问题，求gcd(x, y) = k, 1 <= x, y <= n的对数等于求gcd(x, y) = 1, 1 <= x, y <= n/k的对数。那么接下来我们就只要枚举每个素数k=prime[i]了，然后用到欧拉函数就可以求出来了，Σ( 2*Σ( phi[n/prime[i]] ) - 1 )。这里因为n比较大，因此我们需要线性筛法求出欧拉函数的表，然后直接遍历。我以往的phitable模板是 O(∑p<nn/p)=O(nloglogn)的，今天见识到了O(n)的复杂度的phitable，在<这里>有详细介绍。现摘录如下：

下面代码就是带有计算欧拉函数的线性筛素数。代码原型的起源已经无从考证，可以作出一个合理的揣测，是某位搞OI或者ACM/ICPC的神牛第一次写出来的。

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bool com[MAXN];

int primes, prime[MAXN], phi[MAXN];

phi[1] = 1;

for (int i = 2; i <= n; ++i)

{

  if (!com[i])

  {

    prime[primes++] = i;

    phi[i] = i-1;

  }

  for (int j = 0; j < primes && i*prime[j] <= n; ++j)

  {

    com[i*prime[j]] = true;

    if (i % prime[j])

      phi[i*prime[j]] = phi[i]*(prime[j]-1);

    else

      { phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j]; break; }

  }

}

最难理解的是这句话：

if (i % prime[j] == 0) break;

要理解这句话，（顺便不严谨地）证明这个算法的时间复杂度和正确性，要从下面两个方面：

  • 每个数至少被访问一次
  • 每个数至多被访问一次

每个数至少被访问一次

对于质数，一定会在i的循环中访问到，并确定为质数。

对于合数，因为每一个合数都可以表示成它最小的质因数和另一个数的乘积，而我们枚举了所有的另一个数（也就是i），所以它一定会被它的最小质因数筛掉。

每个数至多被访问一次

对于质数，不可能在j的循环中被访问到，因此仅会在i的循环中被访问到恰好一次。

对于合数，对于i = i1 = p * a，因为在i1 % prime[j1] == 0时break，所以不可能出现一个数x = i1 * prime[k] = p * a * prime[k] (k > j1)在i = i1, j = k的时候被筛掉一次，又在i = a * prime[k]的时候被p给筛掉的情况。

证毕

综上所述，每个数被访问一次且仅访问一次！因此整个算法的复杂度是O(n)的。

————————————————————我是分割线————————————————————

主要是用到了递推优化：
如果i%prime[j]，那么phi[i*prime[j]]=n(p1-1)/p1*...(pn-1)/pn*(prime[j]-1)/prime[j]*prime[j]=phi[i]*(prime[j]-1)
否则：phi[i*prime[j]]=n(p1-1)/p1*...(pn-1)/pn*prime[j]=phi[i]*(prime[j]-1)
 //STATUS:C++_AC_856MS_118460KB

 #include <functional>

 #include <algorithm>

 #include <iostream>

 //#include <ext/rope>

 #include <fstream>

 #include <sstream>

 #include <iomanip>

 #include <numeric>

 #include <cstring>

 #include <cassert>

 #include <cstdio>

 #include <string>

 #include <vector>

 #include <bitset>

 #include <queue>

 #include <stack>

 #include <cmath>

 #include <ctime>

 #include <list>

 #include <set>

 #include <map>

 using namespace std;

 //#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")

 //using namespace __gnu_cxx;

 //define

 #define pii pair<int,int>

 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

 #define lson l,mid,rt<<1

 #define rson mid+1,r,rt<<1|1

 #define PI acos(-1.0)

 //typedef

 typedef long long LL;

 typedef unsigned long long ULL;

 //const

 const int N=;

 const int INF=0x3f3f3f3f;

 const int MOD=,STA=;

 const LL LNF=1LL<<;

 const double EPS=1e-;

 const double OO=1e15;

 const int dx[]={-,,,};

 const int dy[]={,,,-};

 const int day[]={,,,,,,,,,,,,};

 //Daily Use ...

 inline int sign(double x){return (x>EPS)-(x<-EPS);}

 template<class T> T gcd(T a,T b){return b?gcd(b,a%b):a;}

 template<class T> T lcm(T a,T b){return a/gcd(a,b)*b;}

 template<class T> inline T lcm(T a,T b,T d){return a/d*b;}

 template<class T> inline T Min(T a,T b){return a<b?a:b;}

 template<class T> inline T Max(T a,T b){return a>b?a:b;}

 template<class T> inline T Min(T a,T b,T c){return min(min(a, b),c);}

 template<class T> inline T Max(T a,T b,T c){return max(max(a, b),c);}

 template<class T> inline T Min(T a,T b,T c,T d){return min(min(a, b),min(c,d));}

 template<class T> inline T Max(T a,T b,T c,T d){return max(max(a, b),max(c,d));}

 //

 LL phi[N];

 int prime[N];

 int cnt;

 void phi_and_prime_table(int n)

 {

     int i,j;

     cnt=;phi[]=;

     for(i=;i<=n;i++){

         if(!phi[i]){

             prime[cnt++]=i;

             phi[i]=i-;

         }

         for(j=;j<cnt && i*prime[j]<=n;j++){

             if(i%prime[j])

                 phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-);

             else {phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}

         }

     }

 }

 int n;

 int main(){

  //   freopen("in.txt","r",stdin);

     int i,j;

     LL ans;

     scanf("%d",&n);

     cnt=;

     phi_and_prime_table(n);

     for(i=;i<=n/;i++)phi[i]+=phi[i-];

     ans=;

     for(i=;i<cnt;i++){

         ans+=(phi[n/prime[i]]<<)-;

     }

     printf("%lld\n",ans);

     return ;

 }

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