【文件属性】:
文件名称:欧拉函数公式以及证明
文件大小:33KB
文件格式:DOC
更新时间:2021-03-11 11:23:18
欧拉函数
欧拉函数 :
欧拉函数是数论中很重要的一个函数,欧拉函数是指:对于一个正整数 n ,小于 n 且和 n 互质的正整数(包括 1)的个数,记作 φ(n) 。
完全余数集合:
定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ,称呼这个集合为 n 的完全余数集合。 显然 |Zn| =φ(n) 。
有关性质:
对于素数 p ,φ(p) = p -1 。
对于两个不同素数 p, q ,它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q -1) 。
这是因为 Zn = {1, 2, 3, ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} , 则 φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1) =φ(p) * φ(q) 。
欧拉定理 :
对于互质的正整数 a 和 n ,有 aφ(n) ≡ 1 mod n 。
证明:
( 1 ) 令 Zn = {x1, x2, ..., xφ(n)} , S = {a * x1 mod n, a * x2 mod n, ... , a * xφ(n) mod n} ,
则 Zn = S 。
① 因为 a 与 n 互质, xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质, 所以 a * xi 与 n 互质,所以 a * xi mod n ∈ Zn 。
② 若 i ≠ j , 那么 xi ≠ xj,且由 a, n互质可得 a * xi mod n ≠ a * xj mod n (消去律)。