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约定的记号
对于一个多项式\(A(x)\)，若其最高次系数不为零的项是\(x^k\)，则该多项式的次数为\(k\).
记为\(deg(A)=k\).
对于\(x\in(k,+ \infty)\)，称\(x\)都为\(A(x)\)的次数界. 但一般地，我们都使用\(k+1\)作为\(A(x)\)的次数界。
取模意义下的多项式运算
这里要消除一下疑惑，两个次数界为\(n\)的多项式在取模\(x^n\)意义下相乘，虽然NTT完了之后我们会得到一个次数界为\(2n-1\)的多项式，但是\(x^n....x^{2n-1}\)的系数是没有意义的。答案多项式就是\(x^0...x^{n-1}\)的系数描述的多项式。
求分式同理，\(\frac {F(x)}{G(x)}\pmod {x^n}\)的答案多项式，就是\(F(x)*G^{-1}(x)\)的前\(n\)个系数描述的多项式。
多项式加法减法乘法
略去，加减为\(\mathcal O(n)\)系数运算，乘法用NTT在\(\mathcal O(n\lg n)\)内计算。
多项式求逆
已知次数界为\(n\)的多项式\(A(x)\)，求其在模\(x^n\)意义下的逆多项式\(B(x)\)，使得
\]
其中，\(B(x)\)的次数小于等于\(A(x)\)的次数
采用倍增思路向上倍增求解
当\(n=1\)时，\(A(x)\)与\(B(x)\)仅有一个常数项，且\(B(x)\)的常数项为\(A(x)\)常数项的逆元。多项式有无逆元也取决于这个常数是否有逆元
假设已经求得\(A(x)\)在模\(x^{\lceil\frac n 2\rceil}\)意义下的逆元\(B'(x)\)
\]
而\((1)\)放在模\(x^{\lceil\frac n 2\rceil}\)意义下同样成立，有
\]
将\((3)-(2)\)得到
\]
平方得到
\]
模数同时平方的原因是：原本多项式模\(x^{\lceil\frac n 2\rceil}\)为0，说明\(0\)~\(\lceil\frac n 2\rceil-1\)项的系数为0，平方后由于系数相乘，这些0系数会导致0~n-1项系数为0，也即模\(x^n\)为0
两边同乘\(A(x)\)，消去\(B(x)\)并移项，得到
\]
至此可以递归倍增求解，伪代码如下，忽略清零、取模操作：
void polyInv(int *a,int *b,int n){ // a是要求逆元的多项式，b是在模x^n意义下的a的逆元
if(n==1) 令b为一个次数为1,常数项为a[0]的逆元的多项式，返回;
polyInv(a,b,(n+1)>>1);
ntt_init(dega+degb+degb); //ntt长度
static int A[]=a,B[]=b; //临时数组，防止影响到传入的指针
ntt(A);
ntt(B);
for(int i=0;i<nttlen;i++)
A[i]=2*B[i]-A[i]*B[i]*B[i]; //点值计算
ntt(A,-1);
b=A;
}
完整代码如下：
void polyInv(int *a,int *b,int n){
if(n==1){
b[0]=fmi(a[0],MOD-2);
return;
}
int m=(n+1)>>1;
polyInv(a,b,m);
NTT::init(2*m+n);
static int ta[S],tb[S];
for(int i=0;i<n;i++) ta[i]=a[i],tb[i]=b[i];
for(int i=n;i<NTT::n;i++) ta[i]=tb[i]=0;//NTT前对后半也要清空
NTT::ntt(ta,0);
NTT::ntt(tb,0);
for(int i=0;i<NTT::n;i++)
ta[i]=(2LL*tb[i]-1LL*ta[i]*tb[i]%MOD*tb[i]%MOD)%MOD;
NTT::ntt(ta,1);
for(int i=0;i<n;i++) b[i]=ta[i];
}
Tips：调用整个递归之前需要清空\(b\)数组，否则\(b\)在赋值给\(B\)准备NTT时可能有处于\([(n+1)>>1,n)\)中的杂乱数字，将影响NTT。或者每次递归完成后都清空一次也可以。总之记得清空无用数据。
时间复杂度\(O(n log n)\)，不过我不知道怎么证。
多项式除法及取模
给定多项式\(A(x)\)和多项式\(B(x)\)，求两个多项式\(D(x)\)与\(R(x)\)，使得
\]
其中，\(deg(A)>=deg(B)\) , \(deg(D)\leq deg(A)-deg(B)\)，\(deg(R)<deg(B)\)
除法用奇妙变化解决.
引入一个操作：翻转操作. 对于一个次数为\(n\)的多项式\(A(x)\)，定义
\]
会发现\(A^R(x)\)的系数相对于\(A(x)\)完全\(reverse\)了一下
将\((1)\)的\(x\)换成\(\frac 1 x\)，并两边同乘\(x^n\)，记\(n=deg(A)\), \(m=deg(B)\), \(deg(D)=n-m\), \(deg(R)=m-1\).
x^nA(\frac1x)&=x^{n-m}D(\frac1x)x^mB(\frac1x)+x^{n-m+1}x^{m-1}R(\frac1x)\\
A^R(x)&=D^R(x)B^R(x)+x^{n-m+1}R^R(x)
\end{aligned}
\]
我们发现\(D^R(x)\)的次数仍然等于\(n-m\)，如果把上式放在模\(x^{n-m+1}\)意义下，我们会发现\(D^R(x)\)不会受到任何影响，而\(x^{n-m+1}R^R(x)\)被完全模掉了！
于是
A^R(x)&\equiv D^R(x)B^R(x)\pmod{x^{n-m+1}}\\
D^R(x)&\equiv A^R(x){B^R}^{-1}(x)\pmod{x^{n-m+1}}
\end{aligned}
\]
直接对\(A\)系数翻转，\(B\)系数翻转，求\(B\)的逆，\(A\)和\(B\)一乘，把结果的系数再次翻转，就是\(D\)了！
void polyDiv(int *a,int *b,int *d){// a和b对应上文的A和B，d是上文的D，是答案
if(deg(a)<deg(b)) 令d为一个0多项式，返回;
reverse(a);
reverse(b);
static int invb[];
polyInv(b,invb,deg(b)+1); //b次数界是deg(b)+1
d=a*invb;
reverse(d);
}
如果你还要求\(R(x)\)，带回最初的式子直接算就好，多项式乘法用*直接代替了
void polyMod(int *a,int *b,int *r){
if(deg(a)<deg(b)) 令r为a，返回;
static int d[];
polyDiv(a,b,d);
r=a-d*b;
}
多项式求\(\ln\)
已知次数界为\(n\)的多项式\(f(x)\)，并知关系\(f(x)=e^{g(x)}\)。求未知多项式\(g(x)=\ln f(x)\)
两边求导，得到
\]
所以
\]
先对\(f\)求导（\(\mathcal O(n)\)），再与\(f\)的逆多项式相乘（都是\(\mathcal O(n \lg n)\)），对结果再积分（\(\mathcal O(n)\)），得到\(g(x)\)
void polyDeri(int *a,int *b,int n){//计算一个次数界为n的多项式a的导数，放入b
for(int i=0;i<n-1;i++) b[i]=1LL*(i+1)*a[i+1]%MOD;
b[n-1]=0;
}
void polyInte(int *a,int *b,int n){//计算一个次数界为n的多项式a的积分，放入b
for(int i=n-1;i>0;i--)
b[i]=1LL*a[i-1]*inv[i]%MOD;
b[0]=0;
}
void polyLn(int *f,int *g,int n){//整体计算于模x^n意义下进行
static int t1[S],t2[S];
polyDeri(f,t1,n);//求导，放入t1
memset(t2,0,sizeof t2);
polyInv(f,t2,n);//求逆，放入t2
NTT::init(n*2-1);//接下来是t1与t2相乘
for(int i=n;i<NTT::n;i++) t1[i]=t2[i]=0;
NTT::ntt(t1,0);
NTT::ntt(t2,0);
for(int i=0;i<NTT::n;i++) t1[i]=1LL*t1[i]*t2[i]%MOD;
NTT::ntt(t1,1);//此时t1只有0~n-1项的系数有意义，即为上述分式
polyInte(t1,g,n);//积分，放入g
}
多项式牛顿迭代法
已知多项式\(g(x)\)，求\(f(x)\)使得\(g(f(x))\equiv0\pmod{x^n}\)
做法：倍增模数\(x^n\)。
当\(n=1\)时，\(f(x)=1\)（令常数项为1）。
假设已知\(f_0(x)\)使得
\]
则构造\(f(x)\)
\]
可满足\(g(f(x))\equiv0\pmod{x^n}\)
多项式求exp
已知次数界为\(n\)的多项式\(f(x)\)，并知关系\(g(x)\equiv e^{f(x)}\pmod{x^n}\)。求未知多项式\(g(x)\)
前置技能：多项式牛顿迭代法。
先来转化一下式子：
g(x)-e^{f(x)}&\equiv 0\pmod{x^n}\\
\ln g(x)-f(x)&\equiv 0 \pmod{x^n}
\end{aligned}
\]
其实就是要求解多项式函数
\]
的零点多项式。其中\(g(x)\)是变量，\(f(x)\)是常量多项式。
套用多项式牛顿迭代，假设已知多项式\(g_0(x)\)满足
\]
则构造\(g(x)\)
g(x)&\equiv g_0(x)-\frac{\ln g_0(x)-f(x)}{\frac 1 {g_0(x)}}\\
&\equiv g_0(x)*(1-\ln g_0(x)+f(x))\pmod{x^n}
\end{aligned}
\]
可满足\(\ln g(x)-f(x)\equiv 0\pmod{x^{n}}\)。
向上倍增即可。
void polyExp(int *f,int *g,int n){
if(n==1){
g[0]=1;
return;
}
static int t[S];
polyExp(f,g,(n+1)>>1);//求得g0，放在g中
polyLn(g,t,n);//求g0的ln，放在t中
for(int i=0;i<n;i++) t[i]=(f[i]-t[i])%MOD;//构造后面一个括号的多项式，还是放在t中
t[0]++;
NTT::init(n*2-1);//g0和t相乘
for(int i=n;i<NTT::n;i++) t[i]=g[i]=0;
NTT::ntt(t,0);
NTT::ntt(g,0);
for(int i=0;i<NTT::n;i++) g[i]=1LL*t[i]*g[i]%MOD;
NTT::ntt(g,1);
for(int i=n;i<NTT::n;i++) g[i]=0;//清空不必要的东西
}
同求逆，最好在整体调用之前清空\(g\)数组，以免不必要的错误。