本文内容对应我的博客中微积分笔记总目录下的第二章，导数和微分的应用。

2. 导数和微分的应用（Applications）

本章主要总结一些导数的应用和一条与导数有关的定理（中值定理）

2.1 线性和二次近似（Linear and Quadratic Approximation）

2.1.1 线性近似

什么是线性近似？

如果已知函数 $f(x)$ 的某一点坐标 $(x_0,\ f(x_0))$ 和这一点的导数 $f'(x_0)$ ，我们就可以该点的切线来估计 $f(x)$ 在点 $x_0$ 附近的数值，即： $f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
从图像上理解的话参考下图。单变量微积分笔记——导数的应用

如何理解线性近似？

从导数的定义中我们知道：
$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$
这时候我们从右往左思考这个方程，会发现，
$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\approx f'(x_0)$
化简之后很显然：
$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
需要注意线性近似的前提一定是 $\Delta x$ 足够小才可以。如果超出这个范围，参考上图可以发现，结果是非常非常不准确的。
另外，为了再简化整个求解过程，通常我们会让 $x_0=0$ ，显然函数得在零点有导数。公式就简化成：
$f(x)\approx f(0)+f'(0)x$
例如，正余弦函数在零点附近的的线性近似：
单变量微积分笔记——导数的应用

无穷小量与线性近似

与上文的公式相比，用无穷小量来表示线性近似更简单，由于我们要求解的点几乎紧挨着点 $(x,\ y)$ ，所以此点可以表示成 $(x_0+dx,\ y_0+dy)$ ，那么
$f(x_0+dx)\approx y+dy$
其中 $dy=$ ，最后的公式为：
$f(x_0+dx)\approx y+f'(x_0)dx$

常用函数在零点的线性近似总结:

$\sin x\approx x\quad \cos x\approx1\quad(\text{if} \quad x\approx 0)$
$\ln(1+x)\approx x\quad or \quad\ln x\approx x-1\quad(\text{if} \quad x\approx 0)$
$(1+x)^r\approx 1+rx\quad(\text{if} \quad x\approx 0)$
$e^x\approx 1+x\quad(\text{if} \quad x\approx 0)$

对于比较复杂的函数，比如 $P(x)/Q(x)$ 这种形式的函数，我们可以直接带入 $P(x),\ Q(x)$ 的线性近似再相除即可。

2.1.2 二次近似

如何解释多出来的二次项?

一切都源于二次函数的一般形式， $f(x)=ax^2+bx+c$ 。
它的一阶和二阶导数为：
$f'(x)=2ax+b;\quad f''(x)=2a$
带入点 $x_0$ ，可以算出：
$f''(x_0)=2a\quad \to\quad a=\frac{f''(x_0)}{2}$

（二次近似与之后的泰勒级数是一致的）

当要求复杂函数的二次近似的时候，多项式与多项式成绩之后的结果一定包含比二次项更高阶的项，但是不需要考虑这些高阶项，直接删掉即可。

2.2 画草图（Curve Sketching）

粗略地画出一个给定函数的图像有助于我们理解函数的一些性质。在画图的过程中，导数有着非同小可的作用。

步骤

画草图的一般思路是从一些特殊的点着手，之后看一阶二阶导数，最后整合信息画图。
具体步骤为：

画出以下的点：

函数的终止点，即 $x\to\pm\infty$
不连续的点（没有定义的点，如分母为0的情况）
其他容易求的点（option）

找出临界点（Critical Point）和拐点（Inflection Point），即 $f'(x)=0$ 的点 $(x_0, f(x_0))$ ，并找到自变量 $x$ 的区间。
判断 $f'(x)>0$ 或者 $f'(x)<0$ 的区间，并判断其增减性（在某一区间内， $f'(x)>0$ 函数递增， $f'(x)<0$ 函数递减，增减性的证明请参考‘中值定理’部分）
判断 $f''(x)>0$ 或者 $f''(x)<0$ 的区间，并判断其凹凸性（在某一区间内， $f''(x)>0$ 函数concave up， $f''(x)<0$ 函数concave down；这里，Concave的朗文字典解释是：a concave surface is curved inwards in the middle，意思是有一条水平直线，concave up就是直线两端向上弯曲，反之向下，请自行理解）
整合以上信息，开始做图。

最值

由以上步骤，求函数的最大值和最小值也就非常明显了。
最大值的地方： $f'(x_0)=0,\ f''(x_0)<0$
最小值的地方： $f'(x_0)=0,\ f''(x_0)>0$
（通过隐式函数微分的方法求出来的最值点，其表达式可以写成 $x,\ y$ 的比例，因此也被称为相对率，Related Rates）

举例

画出函数 $f(x)=x/\ln x$ 的大致曲线。
中间步骤我就不写了，结果如下
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2.3 牛顿法求根（Newton’s Method）

在听到牛顿法求根这一段的时候，我突然想到大二在学《MATLAB与数值计算》这门课程时详细介绍了牛顿法，这是一个比较好理解的计算机处理函数根的方法之一。

基本思路

牛顿法的基本思路是先猜一个可能的点（最好靠近根，如果离函数的根太远就会找错根甚至找不到），然后通过做该点的切线找到与 $x$ 轴的交点，再以此类推，直到找到准确的根或者满足人为设定的准确度即可。

定义及表达式

每一次迭代的代数表达式为：
$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

简单验证（Double Check!）
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如上图所示，红线代表在点 $x_0$ 处的切线，通过几何关系我们可以得到:
$f'(x_0)=\frac{0-f(x_0)}{x_1-x_0}\quad \to \quad x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$
之后的迭代也同理。

每次迭代准确率的变化

为了衡量牛顿法的准确率，我们需要在每次迭代后计算误差 $E_n=|x-x_n|$ ，公式中的 $x$ 代表函数准确的零点， $x_n$ 是估算值。经过实验发现，每次迭代之后的误差数量级是以二次方的速度下降的。如下表，

$E_0$	$E_1$	$E_2$	$E_3$	$E_4$
$10^{-1}$	$10^{-2}$	$10^{-4}$	$10^{-8}$	$10^{-16}$

如果initial guess比较合理，那么只需要几次迭代，牛顿法就能找到比较准确的零点了。
但要注意的是，牛顿法在 $|f'(x)|$ 的值特别小（如 $\ln x$ ）， $|f''(x)|$ 特别大的时候（如非常陡的抛物线）会失去效力；除此之外，第一个数猜错了会导致牛顿法的结果并不是我们想要的零点，甚至会不断震荡（震荡原理如下图）。
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2.4 中值定理（Mean Value Theorem）

中值定理也涉及到了导数，所以我把中值定理归类到了导数的应用当中。

2.4.1 中值定理的内容

如果函数 $f(x)$ 在区间 $x\in(a,b)$ 是可导的，在区间 $x\in[a,b]$ 上是连续的，那么
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\quad (\text{for}\ \ a\leq c\leq b)$
$\min_{a\leq x\leq b}f'(c)\leq\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\leq \max_{a\leq x\leq b}f'(c)\quad$ $(\text{for}\ \ a\leq c\leq b)$

2.4.2 中值定理的几何解释

用几何图形来解释中值定理的过程如下图所示，
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（注意，与 $a,\ b$ 两点割线斜率相同的点在给定区间 $(a,b)$ 可以有很多，并不是惟一的）

2.4.3 中值定理的应用

A. 用中值定理证明函数增减行和其导数的关系

早在高中时候我们就学到，在某一区间内，如果 $f'>0$ ，函数递增；如果 $f'<0$ ，函数递减。中值定理为我们提供了证明方法。
中值定理的内容是： $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\quad (\text{for}\ \ a\leq c\leq b)$
可以得到，
$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
在区间 $x\in[a,b]$ 上 $b>a$ ，那么如果函数的一阶导数 $f'(c)>0$ ，则 $f(b)>f(a)$ ，函数单调递增；反之， $f(b)<f(a)$

B. 证明不等式

例:
求证当 $x>0$ 时， $e^x>1+x$
令 $f(x)=e^x-(1+x)$ ， $f(0)=0$ ， $f'(x)=e^x-1$ 。当 $x>0$ 时， $f'(x)>0$ ，函数递增，所以 $f(x)=e^x-(1+x)>f(0)$ ，即 $e^x>1+x$

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