最优化方法 25：PDHG

前面的章节要么从原始问题出发，要么从对偶问题出发，通过求解近似点或者一个子优化问题进行迭代，而且推导过程中我们发现根据问题的参数特征，比如矩阵 $A$ 是瘦高型的还是矮胖型的，采用对偶和原始问题的复杂度会不一样，可以选择一个更简单的。而这一节，我们将要从原始对偶问题出发来优化，什么是原始对偶问题呢？就是原始优化变量和对偶优化变量（原始函数和共轭函数）混合在一块，看下面的原理就知道了。

1. 原始对偶问题

现在考虑原始优化问题，其中 $f,g$ 为闭凸函数
$\min \quad f(x)+g(Ax)$
这个问题我们前面遇到好多次了，一般都是取 $y=Ax$ 加一个约束条件然后计算拉格朗日函数（自己拿小本本写一下），再求解 KKT 条件对吧。好，让我们列出来 KKT 条件：

原始可行性： $x\in\text{dom}f,Ax=y\in\text{dom}g$
$x,z$ 是拉格朗日函数的最小值点，因此 $-A^Tz\in\partial f(x),z\in\partial g(y)$

其中 $z\in\partial g(y)\iff Ax=y\in\partial g^\star(z)$ 。也就是说，要想求解 KKT 条件，我们需要的实际上是求解下面一个“方程”
$0 \in\left[\begin{array}{cc}0 & A^{T} \\-A & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\partial f(x) \\\partial g^{\star}(z)\end{array}\right]$

Remarks：这个式子可重要啦，后面还会用到！而且他从集合的角度揭示了我们求解最优值问题的本质，那就是找一个包含关系。

比如上面的这个式子我们用一个算子来表示为 $T(x,z)$ ，我们求解最优值实际上要就是找满足 $0\in T(x,z)$ 的解 $(x^\star,z^\star)$ 。而对一个简单的优化问题 $\min f(x)$ ，我们实际上就是在找满足 $0\in\partial f(x)$ 的 $x^\star$ ，这个时候我们可以把次梯度看作是一个算子。

在这一章的后面几个小节，我们将从算子的角度重新来看待优化问题，看完之后可以再回到这里细细品味。

好我们先把这个东西放一放，再来看看另一个跟拉格朗日函数有关的函数
$\begin{aligned} h(x,z)&=\inf_{y}L(x,y,z)\\ &=f(x)-g^\star(z)+z^TAx \end{aligned}$
如果计算 $0\in\partial h(x,z)$ 是不是就是上面那个方程？！也就是说上面很重要的那个方程实际上就是在求解 $h(x,z)$ 的鞍点！很容易理解，因为 KKT 条件本质上就是在求拉格朗日函数的鞍点（当然，如果存在不等式约束就不一定是鞍点了）。大家注意，你看这个 $h$ ~~他又长又宽~~，这个 $h$ 同时包含了原始变量 $x$ 和对偶变量 $z$ ，同时还既有原始函数 $f$ 又有对偶函数 $g^\star$ ，所以我们叫他原始对偶优化问题， $h$ 也是部分拉格朗日函数(partial Lagrangian)。

2. PDHG

前面说了我们要求解的问题是
$0 \in\left[\begin{array}{cc} 0 & A^{T} \\ -A & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ z \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} \partial f(x) \\ \partial g^{\star}(z) \end{array}\right]$

**PDHG(Primal-dual hybrid gradient method)**的迭代格式是这样的
$\begin{array}{l} x_{k+1}=\operatorname{prox}_{\tau f}\left(x_{k}-\tau A^{T} z_{k}\right) \\ z_{k+1}=\operatorname{prox}_{\sigma g^{*}}\left(z_{k}+\sigma A\left(2 x_{k+1}-x_{k}\right)\right) \end{array}$
步长需要满足 $\sigma\tau\|A\|_2^2\le1$ 。

是不是看起来跟 DR 方法很像呢？事实上他们两个是等价的，后面会证明。回忆 ADMM，我们每次需要求解的优化问题是
$x^{k+1}=\arg\min_x f(x)+\frac{t}{2}\| Ax-y^k+\frac{z^k}{t}\|^2$
要求解这个优化问题，我们往往会得到一个线性方程，还需要计算 $(A^TA)^{-1}$ ，这就很麻烦了。但是观察 PDHG 的迭代格式，我们只需要求解 $f,g^\star$ 的 $\text{prox}$ 算子，我们只需要求解 $A,A^T$ 之间的乘法而不需要求逆了，这就方便很多了。

最优化方法 25：PDHG

看上面这个例子，我们前面说过 ADMM 等价于 dual DR，不过这个例子里边 PDHG 是最慢的。

下面我们就来证明一下如何从 PDHG 导出 DR 方法。

对于优化问题 $\min f(x)+g(x)$ ，实际上相当于 $\min f(x)+g(Ax),A=I$ ，另外我们再取 PDHG 中的 $\sigma=\tau=1$ ，那么就可以得到
$\begin{array}{l} x_{k+1}=\operatorname{prox}_{f}\left(x_{k}-z_{k}\right) \\ z_{k+1}=\operatorname{prox}_{g^{*}}\left(z_{k}+2 x_{k+1}-x_{k}\right) \end{array}$
这实际上就是 DR Splitting 那一节讲的原始对偶形式。

另外也可以从 DR 方法导出 PDHG。我们可以将原问题 $\min f(x)+g(A x)$ 改写为
$\begin{aligned} \operatorname{minimize} &\quad f(x)+g(A x+B y) \\ \text{subject to} &\quad y=0 \end{aligned}$
这里边我们可以选择 $B$ 使 $AA^T+BB^T=(1/\alpha)I$ ，其中 $1/\alpha\ge\|A\|_2^2$ 。为什么这么选呢？令
$\tilde{g}(x,y)=g(Ax+By)=g\left(\tilde{A}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\right)$
那么就有 $\tilde{A}\tilde{A}^T=(1/\alpha)I$ ，而前面讲 $\text{prox}$ 算子的时候我们讲了一个性质，满足这个条件的时候 $\text{prox}_{\tilde{g}}$ 可以用 $\text{prox}_g$ 来表示。

复习： $\text{prox}$ 算子的性质

$f(x)=g(Ax+b)$ ，对于一般的 $A$ 并不能得到比较好的性质，但如果 $AA^T=(1/\alpha)I$ ，则有
$\begin{aligned}\operatorname{prox}_{f}(x) &=\left(I-\alpha A^{T} A\right) x+\alpha A^{T}\left(\operatorname{prox}_{\alpha^{-1} g}(A x+b)-b\right) \\&=x-\alpha A^{T}\left(A x+b-\operatorname{prox}_{\alpha^{-1} g}(A x+b)\right)\end{aligned}$

我们还可以取 $\tilde{f}(x,y)=f(x)+\delta_{0}(y)$ ，那么优化问题就变成了 $\min \tilde{f}(x,y)+\tilde{g}(x,y)$ ，应用 DR 方法迭代格式为
$\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{c} x_{k+1} \\ y_{k+1} \end{array}\right]=\operatorname{prox}_{\tau \tilde{f}} \left(\left[\begin{array}{c} x_{k}-p_{k} \\ y_{k}-q_{k} \end{array}\right]\right)} \\ {\left[\begin{array}{c} p_{k+1} \\ q_{k+1} \end{array}\right]=\operatorname{prox}_{(\tau \tilde{g})^{*}}\left(\left[\begin{array}{c} p_{k}+2 x_{k+1}-x_{k} \\ q_{k}+2 y_{k+1}-y_{k} \end{array}\right]\right)} \end{array}$
我们需要计算 $\text{prox}_{\tilde{f}}$ 和 $\text{prox}_{\tilde{g}}$
$\operatorname{prox}_{\tau \tilde{f}}(x, y)=\left[\begin{array}{c} \operatorname{prox}_{\tau f}(x) \\ 0 \end{array}\right] \\ \begin{aligned} \operatorname{prox}_{\tau \tilde{g}}(x, y) &=\left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right]-\alpha\left[\begin{array}{c} A^{T} \\ B^{T} \end{array}\right]\left(A x+B y-\operatorname{prox}_{(\tau / \alpha) g}(A x+B y)\right.\\ &=\left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right]-\tau\left[\begin{array}{c} A^{T} \\ B^{T} \end{array}\right] \operatorname{prox}_{\sigma g^{\star}}(\sigma(A x+B y)) \\ &=\left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right]-\operatorname{prox}_{(\tau \tilde{g})^\star}(x, y) \end{aligned}$
其中 $\sigma=\alpha/\tau$ 。代入到 DR 方法的迭代方程
$\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{c} x_{k+1} \\ y_{k+1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \operatorname{prox}_{\tau f}\left(x_{k}-p_{k}\right) \\ 0 \end{array}\right]} \\ {\left[\begin{array}{c} p_{k+1} \\ q_{k+1} \end{array}\right]=\tau\left[\begin{array}{c} A^{T} \\ B^{T} \end{array}\right] \operatorname{prox}_{\sigma g^{*}}\left(\sigma\left[\begin{array}{cc} A & B \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} p_{k}+2 x_{k+1}-x_{k} \\ q_{k}+2 y_{k+1}-y_{k} \end{array}\right]\right)} \end{array}$
根据第二个式子应该有 $\left[\begin{array}{c} p_{k} \\ q_{k} \end{array}\right] \in \text { range }\left[\begin{array}{c} A^{T} \\ B^{T} \end{array}\right]$ ，因此存在 $z_k$ 满足 $\left[\begin{array}{c}p_{k+1} \\ q_{k+1}\end{array}\right]=\tau\left[\begin{array}{c}A^{T} \\ B^{T}\end{array}\right]z_k$ 。同时因为 $AA^T+BB^T=(1/\alpha)I$ ，所以能找到唯一的 $z_k$ 同时满足 $z_k=\sigma(Ap_k+Bq_k)$ 。那么把 $z_k$ 代入到上面的迭代方程，同时消掉 $y_k=0$ ，就可以得到
$x_{k+1}=\operatorname{prox}_{\tau f}\left(x_{k}-\tau A^{T} z_{k}\right)\\ z_{k+1}=\operatorname{prox}_{\sigma g^{*}}\left(z_{k}+\sigma A\left(2 x_{k+1}-x_{k}\right)\right)$
这就是 PDHG 算法，其中 $\sigma\tau=\alpha\le 1/\|A\|^2$ 。

当然，我们还可以对 PDHG 算法进行改进，比如：

PDHG withover relaxation： $\rho_k\in(0,2)$
$\begin{aligned} \bar{x}_{k+1} &=\operatorname{prox}_{\tau f}\left(x_{k}-\tau A^{T} z_{k}\right) \\ \bar{z}_{k+1} &=\operatorname{prox}_{\sigma g^{*}}\left(z_{k}+\sigma A\left(2 \bar{x}_{k+1}-x_{k}\right)\right) \\ \left[\begin{array}{c} x_{k+1} \\ z_{k+1} \end{array}\right] &=\left[\begin{array}{c} x_{k} \\ z_{k} \end{array}\right]+\rho_{k}\left[\begin{array}{c} \bar{x}_{k+1}-x_{k} \\ \bar{z}_{k+1}-z_{k} \end{array}\right] \end{aligned}$
其收敛性与 DR 方法相同。

PDHG with acceleration：
$\begin{array}{l} x_{k+1}=\operatorname{prox}_{\tau_{k} f}\left(x_{k}-\tau_{k} A^{T} z_{k}\right) \\ z_{k+1}=\operatorname{prox}_{\sigma_{k} g^{*}}\left(z_{k}+\sigma_{k} A\left(\left(1+\theta_{k}\right) x_{k+1}-\theta_{k} x_{k}\right)\right) \end{array}$
对于强凸函数 $f$ ，以及适当的选择 $\sigma_k,\tau_k,\theta_k$ ，收敛速度可以达到 $1/k^2$ 。

3. 单调算子

单调算子(monotone operator)我们在讲次梯度的时候提到过，这次我们从算子的角度理解一下 PDHG 方法。

3.1 集值算子

集值算子(Multivalued/set-valued operator)，就是说映射得到的不是单个的值，而是一个集合。比如算子 $F$ 把向量 $x\in R^n$ 映射到集合 $F(x)\subseteq R^n$ 。有两个定义

定义域 $\operatorname{dom} F =\left\{x \in \mathbf{R}^{n} | F(x) \neq \emptyset\right\}$
图 $\operatorname{gr}(F) =\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{n} \times \mathbf{R}^{n} | x \in \operatorname{dom} F, y \in F(x)\right\}$

最优化方法 25：PDHG

对算子放缩、求逆等操作都可以表示为对“图”的线性变换。

求逆： $F^{-1}(x)=\{y| x\in F(y)\}$
$\operatorname{gr}\left(F^{-1}\right)=\left[\begin{array}{cc} 0 & I \\ I & 0 \end{array}\right] \operatorname{gr}(F)$
放缩： $(\lambda F)(x)=\lambda F(x)$ and $(F\lambda)(x)=F(\lambda x)$
$\operatorname{gr}(\lambda F)=\left[\begin{array}{cc} I & 0 \\ 0 & \lambda I \end{array}\right] \operatorname{gr}(F), \quad \operatorname{gr}(F \lambda)=\left[\begin{array}{cc} (1 / \lambda) I & 0 \\ 0 & I \end{array}\right] \operatorname{gr}(F)$
相加： $(I+\lambda F)(x)=\{x+\lambda y | y \in F(x)\}$
$\operatorname{gr}(I+\lambda F)=\left[\begin{array}{cc} I & 0 \\ I & \lambda I \end{array}\right] \operatorname{gr}(F)$
注意 $(I+\lambda F)$ 这个形式很特别，如果我们取 $F(x)=\partial f(x)$ ，那么 $(I+\lambda F)^{-1}$ 实际上就是 $\text{prox}$ 算子（ $\lambda>0$ ），不过我们给他取了另一个名字 Resolvent， $y\in(I+\lambda F)^{-1}(x)\iff x-y\in\partial f(y)$ ，用图来表示就是
$\operatorname{gr}\left((I+\lambda F)^{-1}\right)=\left[\begin{array}{cc} I & \lambda I \\ I & 0 \end{array}\right] \operatorname{gr}(F)$
例子 1： $(I+\lambda \partial f(x))^{-1}=\text{prox}_{\lambda f}(x)$

例子 2： $F(x)=Ax+b$ ， $(I+\lambda F)^{-1}(x)=(I+\lambda A)^{-1}(x-\lambda b)$ ，后面这个求逆完全就是矩阵求逆。

最优化方法 25：PDHG

3.2 单调算子

定义： $F$ 是单调算子，若
$(y-\hat{y})^{T}(x-\hat{x}) \geq 0 \quad \text { for all } x, \hat{x} \in \operatorname{dom} F, y \in F(x), \hat{y} \in F(\hat{x})$
如果用图表示，就应该有
$\left[\begin{array}{c}x-\hat{x} \\y-\hat{y}\end{array}\right]^{T}\left[\begin{array}{cc}0 & I \\I & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x-\hat{x} \\y-\hat{y}\end{array}\right] \geq 0 \quad \text { for all }(x, y),(\hat{x}, \hat{y}) \in \operatorname{gr}(F) \quad (\bigstar)$
上面这个式子很重要！！！后面会多次用到。

例子：我们需要用到的单调算子有：

凸函数次梯度 $\partial f(x)$
仿射变换 $F(x)=Cx+d$ ，并且需要满足 $C+C^T\succeq 0$
他们的组合，比如

$F(x, z)=\left[\begin{array}{cc} 0 & A^{T} \\ -A & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x \\ z \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} \partial f(x) \\ \partial g^{*}(z) \end{array}\right]$

除了单调算子，还有个最大单调算子(Maximal monotone operator)，也就是说它的图不能是其他任意单调算子的真子集，举个栗子就明白了，参考下面的图。我们可以知道b闭凸函数的偏导数、单调仿射变换是最大单调算子，除此之外，还有定理。

Minty’s Theorem：单调算子 $F$ 是最大单调算子当且仅当
$\operatorname{im}(I+F)=\bigcup_{x \in \operatorname{dom} F}(x+F(x))=\mathbf{R}^{n}$
最优化方法 25：PDHG

除了单调性质，我们在证明收敛新的时候往往还要用到 Lipschitz 连续、强凸性质等等，实际上我们前面已经介绍过很多次了，而且用了一堆名词 coercivity、expansive、firmly nonexpansive，我实在是晕了…这里我们就再总结一下。假设算子 $F$ 有 $y=F(x),\hat{y}=F(\hat{x})$

$(y-\hat{y})^T(x-\hat{x})\ge \mu \\| x-\hat{x}\\|^2,\mu>0$	$(y-\hat{y})^T(x-\hat{x})\ge \gamma \\|y-\hat{y}\\|^2,\gamma>0$	$(y-\hat{y})^T(x-\hat{x})\le L\\|x-\hat{x}\\|^2$
coercive	co-coercive
	ﬁrmly nonexpansive( $\gamma=1$ )	nonexpansive( $L\le 1$ )
		Lipschitz continuous

它们之间的关系

如果满足 co-coercive 并且有 $\gamma=1$ ，则其为 ﬁrmly nonexpansive
如果满足 Lipschitz continuous 并且有 $L\le 1$ ，则其为 nonexpansive
co-coercivity 可以导出 Lipschitz continuous( $L=1/\gamma$ )，但反之不一定。不过对于闭凸函数他们是等价的。

它们各自的性质

Coercivity等价于 $F-\mu I$ 是一个单调算子，也等价于
$\left[\begin{array}{c} x-\hat{x} \\ y-\hat{y} \end{array}\right]^{T}\left[\begin{array}{cc} -2 \mu I & I \\ I & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x-\hat{x} \\ y-\hat{y} \end{array}\right] \geq 0 \quad \text { for all }(x, y),(\hat{x}, \hat{y}) \in \operatorname{gr}(F)$
Co-coercivity等价于
$\left[\begin{array}{c} x-\hat{x} \\ y-\hat{y} \end{array}\right]^{T}\left[\begin{array}{cc} 0 & I \\ I & -2 \gamma I \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x-\hat{x} \\ y-\hat{y} \end{array}\right] \geq 0 \quad \text { for all }(x, y),(\hat{x}, \hat{y}) \in \operatorname{gr}(F)$

对前面提到的 resolvent 来说，算子单调性有以下重要性质：

重要性质：算子是单调的，当且仅当他的 resolvant 是 ﬁrmly nonexpansive

证明只需要根据矩阵等式 $\lambda\left[\begin{array}{ll}0 & I \\ I & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I & I \\ \lambda I & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0 & I \\ I & -2 I \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I & \lambda I \\ I & 0 \end{array}\right]$ 就可以得到（结合 $(\bigstar)$ 式）。

另外单调算子 $F$ 是最大单调算子，当且仅当
$\text{dom}(I+\lambda F)^{-1}=R^n$
这可以由 Minty’s theorem 得到。

4. 近似点算法

4.1 回望 PPA

前面讲到了 Resolvant $(I+\lambda F)^{-1}$ 实际上就是近似点算子，而 PPA 就是在计算近似点，回忆 PPA 的迭代格式为
$\begin{aligned} x_{k+1} &= \text{prox}_{t_k f}(x_k) \\ &= (1+t_k F)^{-1}(x_k) \end{aligned}$
我们实际上就是在找 Resolvant 算子 $R_t=(I+t F)^{-1}$ 的不动点
$x=R_t(x)\iff x\in(1+tF)(x)\iff 0\in F(x)$
加入松弛后的 PPA 可以写成下面的形式，其中 $\rho_k\in(0,2)$ 为松弛参数
$x_{k+1}=x_k+\rho_k(R_{t_k}(x_k)-x_k)$
那么收敛性是怎么样呢？假如 $F^{-1}(0)\neq \varnothing$ ，在满足以下条件时 PPA 可以收敛

$t_k=t>0,\rho_k=\rho\in(0,2)$ 都选择常数值；或者
$t_k,\rho_k$ 随迭代次数变化，但是需要满足 $t_k\ge t_{\min}> 0,0<\rho_{\min}\le \rho_k\le \rho_{\max}< 2,\forall k$

这个收敛性的证明可以通过证明 Resolvant 的 ﬁrmly nonexpansiveness 性质来完成（可以去复习 DR 方法的收敛性证明，那里实际上也是一个不动点迭代）。

4.2 再看 PPA

先打个预防针，这一部分很重要！！！看完以后也许会对 PPA 以及其他优化算法有更多的理解！！！

首先我们回忆 PPA 是什么。对于优化问题 $\min f(x)$ ，迭代格式为 $x^+=\text{prox}_{tf}(x)$ 。如果我们把 $\partial f(x)$ 用算子 $F$ 来表示，那么优化问题实际上就是在找满足 $0\in F(x)$ 的解，PPA 实际上就是在找不动点 $x=(1+tF)^{-1}(x)$ 。

假如我们现在引入一个非奇异矩阵 $A$ ，令 $x=Ay$ 代入到原方程（为什么要这么做？如果合适地选择 $A$ 的话，有时候可以使问题简化，跟着推导的思路看到最后就能理解了，来吧！）

记 $g(y)=f(Ay)$ ，那么优化问题变为了 $\min g(y)$ ，注意由于 $A$ 是非奇异的，所以这个问题跟原问题 $\min f(x)$ 是等价的。我们需要找满足 $0\in\partial g(y)=A^T\partial f(Ay)$ 的解，于是可以定义算子 $G(y)=\partial g(y)=A^TF(Ay)$ ，这个时候 $G$ 的图就是做一个线性变换
$\operatorname{gr}(G)=\left[\begin{array}{cc}A^{-1} & 0 \\0 & A^{T}\end{array}\right] \operatorname{gr}(F)$
如果 $F$ 是一个单调算子的话，那么 $G$ 也是一个单调算子，这是因为（结合 $(\bigstar)$ 式）
$\left[\begin{array}{cc}A^{-1} & 0 \\0 & A^{T}\end{array}\right]^{T}\left[\begin{array}{cc}0 & I \\I & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A^{-1} & 0 \\0 & A^{T}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & I \\I & 0\end{array}\right]$
然后对 $\min g(y)$ 应用 PPA 迭代格式为
$y_{k+1}=(I+t_kG)^{-1}(y_k)$
我们把 $x_k=Ay_k,G=A^TF(Ay)$ 都代入进去，就能把上面的式子等价表示为
$\frac{1}{t_k}H(x_k-x)\in F(x)$
其中 $H=(AA^T)^{-1}\succ 0$ 。这个式子又可以表示为
$x_{k+1}=(H+t_kF)^{-1}(Hx_k)$
因为 $\min g(y)\iff \min f(x)$ ，所以上面这个迭代格式也完全适用于原问题，如果取 $H=I$ 那就是原始形式的 PPA，如果取别的形式，那么就获得了推广形式的 PPA！

引入 $A$ 有什么作用呢？我们看
$\frac{1}{t_k}H(x_k-x)\in F(x) \iff x_{k+1}=\arg\min_x\left(f(x)+\frac{1}{2t_k}\|x-x_k\|_H^2 \right)$
其中 $\|x\|_H^2=x^THx$ ，如果说 $f(x)=(1/2)\|Bx-b\|^2$ ，那么我们就可以选择 $A$ 使 $H=(1/\alpha) I-B^TB$ ，这样迭代求解 $x_{k+1}$ 就简单了。当然这个作用范围很有限，下面的例子更能显现他的威力。

我们再回到原始对偶问题，记算子 $F$ 为
$F(x,z)=\left[\begin{array}{cc}0 & A^{T} \\-A & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\partial f(x) \\\partial g^{\star}(z)\end{array}\right]$
优化问题就是要找到 $0\in F(x,z)$ 。如果用原始的 PPA 算法，迭代方程为 $(x_{k+1},z_{k+1})=(I+tF)^{-1}(x_k,z_k)$ ， $(x_{k+1},z_{k+1})$ 是下面方程的解

最优化方法 25：PDHG

注意到 $x,z$ 纠缠在一起了，我们想把他们拆开来分别求解 $x,z$ ，问题就能更简单。怎么做呢，引入一个 $H$
$H=\left[\begin{array}{cc}I & -\tau A^{T} \\-\tau A & (\tau / \sigma) I\end{array}\right]$
其中若 $\sigma\tau\|A\|_2^2< 1$ 则 $H$ 为正定矩阵。这个时候 $(x_{k+1},z_{k+1})$ 就是下面方程的解
$\left.\begin{array}{c|cc}1 & I & -\tau A^{T} \\\tau & -\tau A & (\tau / \sigma) I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{k}-x \\z_{k}-z\end{array}\right] \in\left[\begin{array}{cc}0 & A^{T} \\-A & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x \\z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\partial f(x) \\\partial g^{*}(z)\end{array}\right] \\\Updownarrow \\\begin{array}{l}0 \in \partial f(x)+\frac{1}{\tau}\left(x-x_{k}+\tau A^{T} z_{k}\right) \\0 \in \partial g^{*}(z)+\frac{1}{\sigma}\left(z-z_{k}-\sigma A\left(2 x-x_{k}\right)\right)\end{array} \\\Updownarrow \\\begin{aligned}x_{k+1} &=(I+\tau \partial f)^{-1}\left(x_{k}-\tau A^{T} z_{k}\right) \\z_{k+1} &=\left(I+\sigma \partial g^{*}\right)^{-1}\left(z_{k}+\sigma A\left(2 x_{k+1}-x_{k}\right)\right)\end{aligned}$
对于化简后的式子，我们就可以先单独求解 $x_{k+1}$ ，然后再求解 $z_{k+1}$ 。这实际上也是 PDHG 的迭代方程
$\begin{array}{l}x_{k+1}=\operatorname{prox}_{\tau f}\left(x_{k}-\tau A^{T} z_{k}\right) \\z_{k+1}=\operatorname{prox}_{\sigma g^{*}}\left(z_{k}+\sigma A\left(2 x_{k+1}-x_{k}\right)\right)\end{array}$

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前面的一些博客链接如下
凸优化专栏
 凸优化学习笔记 1：Convex Sets
凸优化学习笔记 2：超平面分离定理
 凸优化学习笔记 3：广义不等式
 凸优化学习笔记 4：Convex Function
凸优化学习笔记 5：保凸变换
 凸优化学习笔记 6：共轭函数
 凸优化学习笔记 7：拟凸函数 Quasiconvex Function
凸优化学习笔记 8：对数凸函数
 凸优化学习笔记 9：广义凸函数
 凸优化学习笔记 10：凸优化问题
 凸优化学习笔记 11：对偶原理
 凸优化学习笔记 12：KKT条件
 凸优化学习笔记 13：KKT条件 & 互补性条件 & 强对偶性
 凸优化学习笔记 14：SDP Representablity
最优化方法 15：梯度方法
 最优化方法 16：次梯度
 最优化方法 17：次梯度下降法
 最优化方法 18：近似点算子 Proximal Mapping
最优化方法 19：近似梯度下降
 最优化方法 20：对偶近似点梯度下降法
 最优化方法 21：加速近似梯度下降方法
 最优化方法 22：近似点算法 PPA
最优化方法 23：算子分裂法 & ADMM
最优化方法 24：ADMM
最优化方法 25：PDHG

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最优化方法 25：PDHG

1. 原始对偶问题

2. PDHG

3. 单调算子

3.1 集值算子

3.2 单调算子

4. 近似点算法

4.1 回望 PPA

4.2 再看 PPA

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