信号与系统之信号的时域分析

1. 典型普通信号
2. 阶跃信号与冲激信号
3. 斜坡信号与冲激偶信号
4. 连续信号的时移、反转和尺度变换
5. 连续信号的相加相乘微分积分
6. 离散时间信号的时域描述
7. 离散时间信号位移翻转抽取内插
8. 离散信号的相加相乘差分求和
9. 确定信号的时域分解

典型普通信号

1. 直流信号
2. 实指数信号
3. 正弦信号
4. 虚指数信号
5. 复指数信号
6. 抽样信号

直流信号

直流信号是指时间从负无穷远处到正无穷远处一直保持一个恒定的值，生活中经常见到的电池就是这样一种直流信号。

实指数信号

实指数信号，是在高等数学中经常见到的函数，实际生活中电容充放电的过程就是一个指数信号。

例如充电过程，电容C两端的电压在不断地增加，放电过程与之相反，电容C两端的电压逐渐减小

正弦信号

正弦信号是在大学物理中经常见到的一种周期信号，正弦信号的三要素分别是振幅、角频率和初始相位。那么如果一个正弦信号它的角频率是ω0的话，它的周期T0就是2π除以ω0。

虚指数信号

虚指数信号的表达式是e的jω0t次方，这个信号在高等数学中接触的比较少，是我们这门课程典型的连续信号中的一个重点。

首先我们看一下虚指数信号的周期，给虚指数信号自变量t，加上一个它的周期T，仍然能够回到它初始的值:

e的jω0t次方与实轴的夹角是ω0t，当顺时针或者逆时针旋转360度的话，重新又恢复到它的起点，那么就说明这个信号的周期是2π。同样，当n等于正负1 正负2的时候ω0t就等于2π的n倍。

欧拉公式:
欧拉公式反映了正弦类信号和虚指数信号的之间的关系，通过欧拉公式，我们可以用虚指数信号表示正弦类信号，反过来，用正弦类信号也可以表示虚指数信号，所以欧拉公式是联系正弦信号和虚指数信号的桥梁。

复指数信号

复指数信号的表达式是A倍的e的st次方，那么复数这个概念体现在自变量s上，S等于σ加jω0，其中σ是实部，jω0是虚部。我们可以把这个复指数信号通过欧拉公式进行一下变换，也就是复指数可以表示成A倍的e的σt次方乘以e的jω0t次方，把虚指数信号jω0t次方转换成实部cosω0t加j倍的sinω0t，于是复指数信号分为实部和虚部两个部分

复指数信号是一个非常重要的信号，因为通过转化可以把复指数信号转化成前面我们学过的四种信号:

1. 当σ不等于0而且ω0也不等于0的时候，这个复指数信号就是一个不等幅的振荡的正弦信号；
2. 当σ等于0而且ω不等于0的时候，是一个等幅振荡的正弦信号或者是虚指数信号；
3. 当σ不等于0而且ω0等于0的时候，这时是一个实指数信号；
4. 当σ和ω0都等于0的时候，复指数信号就变成了直流信号。

抽样信号

抽样信号的表达方式是Sample(t),也就是Sa(t),抽样信号与正弦信号除以t。这是抽样信号的波形，我们可以看出，抽样信号是一个偶函数，关于纵轴对称

它有以下几个性质:

1. 当t等于0的时候是这个信号的最大值，函数值为1；
2. 当t是π的整数倍的时候，抽样信号过0，也就是sinkπ等于0，k等于正负1 正负2等等
3. 如果对这个信号进行积分，在整个定义域范围内积分它的结果是π。

阶跃信号与冲激信号

阶跃信号与冲激信号都属于奇异信号

奇异信号是函数本身或者其导数，或者高阶导数出现奇异值，所谓奇异值就是趋于无穷大的值。

单位阶跃信号

定义:

图像:

有延时的单位阶跃信号:


用阶跃信号表示实际直流信号:
x(t) = Ku(t)

用阶跃信号表示任意的方波脉冲信号:

利用阶跃信号的单边性表示信号的时间范围:

单位冲激信号

定义:

图像:

延时的单位冲激信号:

强度:
冲激信号具有强度，其强度就是冲激信号对时间的定积分值。在图中用括号注明，以区分信号的幅值。

冲激信号的物理意义:
表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型。

冲激信号的作用:

1. 表示其他任意信号
2. 表示信号间断点的导数

性质:
1.筛选特性


2.取样特性


3.卷积特性


4.展缩特性

推论:


注意:

1. 在冲激信号的抽样特性中，其积分区间不一定都是(-∞，+∞)，但只要积分区间不包括冲激信号&(t- t0)的t = t0时刻，则积分结果必为零。
2. 对于&(at + b)形式的冲激信号，要先利用冲激信号的展缩特性将其化为&(t + b/a) /|a|形式后，方可利用冲激信号的抽样特性与筛选特性。

斜坡信号与冲激偶信号

斜坡信号

定义:


斜坡信号与阶跃信号的关系:

冲激偶信号

定义:


图形表示:

性质:

1. 筛选特性:
   
2. 取样特性:
   
3. 展缩特性:
   
   
4. 卷积特性:
   

四种奇异信号具有导数和积分关系:

连续信号的时移、反转和尺度变换

1.时移(平移)

物理概念:(“左加右减”)

• x(t - t0):信号右移t0个单位
• x(t + t0):信号左移t0个单位

2.信号的反转(翻转)

物理概念:将x(t)以纵轴为中心作180°翻转

3.尺度变化

物理概念:

• 0<a<1: x(at)是x(t)在横坐标上扩展
• a>1: x(at)是x(t)在横坐标上压缩(又称横坐标展缩)

时移、反转、尺度变换的应用:
1.信号的时移、反转是卷积积分计算的基础，用以确定积分上下限。
2.信号的时域运算是频域运算的基础，并且两个定义域运算之间存在关系。

• 时域扩展、频域压缩
• 时域做简单处理，频域出明显效果

注意事项:

连续信号的相加相乘微分积分

1.连续信号相加
包含加减，注意:函数分段，按照段对段"对各连续信号相加。

2.连续信号相乘
包含乘除运算;注意:函数分段，按照"段对段"对各连续信号相乘。

3.连续信号微分

4.连续信号积分

离散时间信号的时域描述

1.实指数序列



离散信号周期判断举例:


3.复指数序列


4.单位脉冲序列
定义:


5.单位阶跃序列


6.矩形序列


7.斜坡序列r[k]

总结

差分关系:
δ[k]= u[k] - u[k - 1]
u[k] =r[k + 1] - r[k]

离散时间信号位移翻转抽取内插

1.位移 x[k] ->x[k±n]

• x[k - n]表示将x[k]右移n个单位。
• x[k + n]表示将x[k]左移n个单位。

2.翻转 x[k] ->x[-k]

将x[k]以纵轴为中心作180度翻转

3.抽取

x[k]→x [Mk] M为正整数

在原序列中每隔M-1点(每M点)抽取一点

4.内插

在序列两点之间插入L- 1个零点

注意:
一般情况下,离散时间信号不做尺度变换运算

原因:

• 横坐标缩:失去了一些信息
• 横坐标展:波形发生了变化

离散信号的相加相乘差分求和

1.离散信号相加
指将若干离散序列序号相同的数值相加,序列点与点相对应

2.离散信号相乘
指将若干离散序列序号相同的数值相乘,序列点与点相对应

3.离散信号差分

差分 分为 前向差分 和 后向差分

4.离散信号求和

比较连续信号和离散奇异信号各自的关系:

确定信号的时域分解

1.信号分解为直流分量和交流分量

2.信号分解为实部分量和虚部分量

3.信号分解为奇分量与偶分量之和

4.连续信号表示为单位冲激信号&(t)的线性组合

4.离散信号表示为单位冲激信号&(t)的线性组合