【机器学习】逻辑斯蒂回归（Logistic Regression）详解

引言

LR回归，虽然这个算法从名字上来看，是回归算法，但其实际上是一个分类算法，学术界也叫它logit regression, maximum-entropy classification (MaxEnt)或者是the log-linear classifier。在机器学习算法中，有几十种分类器，LR回归是其中最常用的一个。

logit和logistic模型的区别:

1. 二者的根本区别在于广义化线性模型中的联系函数的形式。logit采用对数形式，logistic形式为。
2. 当因变量是多类的，可以采用logistic，也可以用logit，计算结果并无多少差别。

LR回归是在线性回归模型的基础上，使用函数，将线性模型  的结果压缩到  之间，使其拥有概率意义。 其本质仍然是一个线性模型，实现相对简单。在广告计算和推荐系统中使用频率极高，是CTR预估模型的基本算法。同时，LR模型也是深度学习的基本组成单元。

LR回归属于概率性判别式模型，之所谓是概率性模型，是因为LR模型是有概率意义的；之所以是判别式模型，是因为LR回归并没有对数据的分布进行建模，也就是说，LR模型并不知道数据的具体分布，而是直接将判别函数，或者说是分类超平面求解了出来。

一般来说，分类算法都是求解，即对于一个新的样本，计算其条件概率 。这个可以看做是一个后验概率，其计算可以基于贝叶斯公式得到： ,其中是类条件概率密度，是类的概率先验。使用这种方法的模型，称为是生成模型，即：是由和生成的。

分类算法所得到的  可以将输入空间划分成许多不相交的区域，这些区域之间的分隔面被称为判别函数（也称为分类面），有了判别函数，就可以进行分类了，上面生成模型，最终也是为了得到判别函数。如果直接对判别函数进行求解，得到判别面，这种方法，就称为判别式法。LR就属于这种方法。

logistic distribution （逻辑斯蒂分布）

之前说过，LR回归是在线性回归模型的基础上，使用函数得到的。关于线性模型，在前面的文章中已经说了很多了。这里就先介绍一下，函数。

首先，需要对 logistic distribution （逻辑斯蒂分布）进行说明，这个分布的概率密度函数和概率分布函数如下：

这里是位置参数，而是形状参数。

逻辑斯蒂分布在不同的  和  的情况下，其概率密度函数  的图形：

概率密度函数

逻辑斯蒂分布在不同的  和  的情况下，其概率分布函数  的图形：

概率分布函数（累积密度函数）

由图可以看出，逻辑斯蒂分布和高斯分布的密度函数长得差不多。特别注意逻辑斯蒂分布的概率密度函数自中心附近增长速度较快，而在两端的增长速度相对较慢。形状参数的数值越小，则概率密度函数在中心附近增长越快。

当  时，逻辑斯蒂分布的概率分布函数（累计密度函数）就是我们常说的函数：

且其导数为：

这是一个非常好的特性，并且这个特性在后面的推导中将会被用到。

从逻辑斯蒂分布 到 逻辑斯蒂回归模型

前面说过，分类算法都是求解，而逻辑斯蒂回归模型，就是用当时的逻辑斯蒂分布的概率分布函数：函数，对进行建模，所得到的模型，对于二分类的逻辑斯蒂回归模型有：

很容易求得，这里：

这里又可以被称作比值比，又名机会比、优势比。（符号标记不慎，这里的标记其实并不太合适。）

 就是我们在分类算法中的决策面，由于LR回归是一个线性分类算法，所以，此处采用线性模型：这里参数向量为，是线性模型的基函数，基函数的数目为个，如果定义的话。

在这里的其实就是（Hypothesis）。

那么， 逻辑斯蒂回归模型就可以重写为下面这个形式：

对于一个二分类的数据集，这里，其极大似然估计为：

竖线改分号只是为了强调在这种情形下，它们含义是相同的，具体可见极大似然估计

对数似然估计为：（通常我们会取其平均）

关于的梯度为：

得到梯度之后，那么就可以和线性回归模型一样，使用梯度下降法求解参数。

梯度下降法实现相对简单，但是其收敛速度往往不尽人意，可以考虑使用随机梯度下降法来解决收敛速度的问题。但上面两种在最小值附近，都存在以一种曲折的慢速逼近方式来逼近最小点的问题。所以在LR回归的实际算法中，用到的是牛顿法，拟牛顿法（DFP、BFGS、L-BFGS）。

由于求解最优解的问题，其实是一个凸优化的问题，这些数值优化方法的区别仅仅在于选择什么方向走向最优解，而这个方向通常是优化函数在当前点的一阶导数（梯度）或者二阶导数（海森Hessian矩阵）决定的。比如梯度下降法用的就是一阶导数，而牛顿法和拟牛顿法用的就是二阶导数。

带惩罚项的LR回归

L2惩罚的LR回归：

上式中，是用于调节目标函数和惩罚项之间关系的，越大，惩罚力度越大，所得到的的最优解越趋近于0，或者说参数向量越稀疏；越小，惩罚力度越小，模型越复杂，也越能体现训练集的数据特征。

L1惩罚的LR回归:

为1范数，即所有元素的绝对值之和。

L1惩罚项可用于特征选择，会使模型的特征变得稀疏。

 

为什么逻辑回归比线性回归要好？

虽然逻辑回归能够用于分类，不过其本质还是线性回归。它仅在线性回归的基础上，在特征到结果的映射中加入了一层sigmoid函数（非线性）映射，即先把特征线性求和，然后使用sigmoid函数来预测。然而，正是这个简单的逻辑函数，使得逻辑回归模型成为了机器学习领域一颗耀眼的明星。

这主要是由于线性回归在整个实数域内敏感度一致，而分类范围，只需要在[0,1]之内。而逻辑回归就是一种减小预测范围，将预测值限定为[0,1]间的一种回归模型。逻辑曲线在z=0时，十分敏感，在z>>0或z<<0处，都不敏感，将预测值限定为[0,1]。

从梯度更新视角来看，为什么线性回归在整个实数域内敏感度一致不好。

线性回归和LR的梯度更新公式是一样的,如下：

唯一不同的是假设函数，，对于LR而言，，那么梯度更新的幅度就不会太大。而线性回归在整个实数域上，即使已经分类正确的点，在梯度更新的过程中也会大大影响到其它数据的分类，就比如有一个正样本，其输出为10000，此时梯度更新的时候，这个样本就会大大影响负样本的分类。而对于LR而言，这种非常肯定的正样本并不会影响负样本的分类情况！

 

参考文章：

Logistic Regression 的前世今生（理论篇）