begin：2019/5/2
update 2020/6/12 更新了LaTeX（咕了好久
感谢大家支持！
AC自动机详细讲解
AC自动机真是个好东西！之前学\(KMP\)被\(Next\)指针搞晕了，所以咕了许久都不敢开AC自动机，近期学完之后，发现AC自动机并不是很难，特别是对于\(KMP\)，个人感觉AC自动机比\(KMP\)要好理解一些，可能是因为我对树上的东西比较敏感（实际是因为我到现在都不会\(KMP\)）。
很多人都说AC自动机是在\(Trie\)树上作\(KMP\)，我不否认这一种观点，因为这确实是这样，不过对于刚开始学AC自动机的同学们就一些误导性的理解（至少对我是这样的）。\(KMP\)是建立在一个字符串上的，现在把\(KMP\)搬到了树上，不是很麻烦吗？实际上AC自动机只是有\(KMP\)的一种思想，实际上跟一个字符串的\(KMP\)有着很大的不同。
所以看这篇blog，请放下\(KMP\)，理解好\(Trie\)，再来学习。
前置技能
1.\(Trie\)(很重要哦)
2.\(KMP\)的思想（懂思想就可以了，不需要很熟练）
问题描述
给定\(n\)个模式串和\(1\)个文本串，求有多少个模式串在文本串里出现过。
注意：是出现过，就是出现多次只算一次。
默认这里每一个人都已经会了\(Trie\)。
我们将\(n\)个模式串建成一颗\(Trie\)树，建树的方式和建\(Trie\)完全一样。
假如我们现在有文本串\(ABCDBC\)。
我们用文本串在\(Trie\)上匹配，刚开始会经过\(2、3、4\)号点，发现到\(4\)，成功地匹配了一个模式串，然后就不能再继续匹配了，这时我们还要重新继续从根开始匹配吗？
不，这样的效率太慢了。这时我们就要借用\(KMP\)的思想，从\(Trie\)上的某个点继续开始匹配。
明显在这颗\(Trie\)上，我们可以继续从\(7\)号点开始匹配，然后匹配到\(8\)。
那么我们怎么确定从那个点开始匹配呢？我们称\(i\)匹配失败后继续从\(j\)开始匹配，\(j\)是\(i\)的\(Fail\)（失配指针）。
构建Fail指针
\(Fail\)的含义
\(Fail\)指针的实质含义是什么呢？
如果一个点\(i\)的\(Fail\)指针指向\(j\)。那么\(root\)到\(j\)的字符串是\(root\)到\(i\)的字符串的一个后缀。
举个例子：（例子来自上面的图
i:4 j:7
root到i的字符串是“ABC”
root到j的字符串是“BC”
“BC”是“ABC”的一个后缀
所以i的Fail指针指向j
同时我们发现，“\(C\)”也是“\(ABC\)”的一个后缀。
所以\(Fail\)指针指的\(j\)的深度要尽量大。
重申一下\(Fail\)指针的含义：((最长的(当前字符串的后缀))在\(Trie\)上可以查找到)的末尾编号。
感觉读起来挺绕口的蛤。感性理解一下就好了，没什么卵用的。知道\(Fail\)有什么用就行了。
求\(Fail\)
首先我们可以确定，每一个点\(i\)的\(Fail\)指针指向的点的深度一定是比\(i\)小的。（Fail指的是后缀啊）
第一层的\(Fail\)一定指的是\(root\)。（比深度\(1\)还浅的只有\(root\)了）
设点\(i\)的父亲\(fa\)的\(Fail\)指针指的是\(fafail\)，那么如果\(fafail\)有和\(i\)值相同的儿子\(j\)，那么\(i\)的\(Fail\)就指向\(j\)。这里可能比较难理解一点，建议画图理解，不过等会转换成代码就很好理解了。
由于我们在处理\(i\)的情况必须要先处理好\(fa\)的情况，所以求\(Fail\)我们使用\(BFS\)来实现。
实现的一些细节：
-
1、刚开始我们不是要初始化第一层的\(fail\)指针为\(root\)，其实我们可以建一个虚节点\(0\)号节点，将\(0\)的所有儿子指向\(root\)（\(root\)编号为\(1\)，记得初始化)，然后\(root\)的\(fail\)指向\(0\)就OK了。效果是一样的。
-
2、如果不存在一个节点\(i\)，那么我们可以将那个节点设为\(fafail\)的((值和\(i\)相同)的儿子)。保证存在性，就算是\(0\)也可以成功返回到根，因为\(0\)的所有儿子都是根。
-
3、无论\(fafail\)存不存在和\(i\)值相同的儿子\(j\)，我们都可以将\(i\)的\(fail\)指向\(j\)。因为在处理\(i\)的时候\(j\)已经处理好了，如果出现这种情况，\(j\)的值是第\(2\)种情况，也是有实际值的，所以没有问题。
-
4、实现时不记父亲，我们直接让父亲更新儿子
void getFail(){
for(int i=0;i<26;i++)trie[0].son[i]=1; //初始化0的所有儿子都是1
q.push(1);trie[1].fail=0; //将根压入队列
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
for(int i=0;i<26;i++){ //遍历所有儿子
int v=trie[u].son[i]; //处理u的i儿子的fail，这样就可以不用记父亲了
int Fail=trie[u].fail; //就是fafail，trie[Fail].son[i]就是和v值相同的点
if(!v){trie[u].son[i]=trie[Fail].son[i];continue;} //不存在该节点，第二种情况
trie[v].fail=trie[Fail].son[i]; //第三种情况，直接指就可以了
q.push(v); //存在实节点才压入队列
}
}
}
查询
求出了\(Fail\)指针，查询就变得十分简单了。
为了避免重复计算，我们每经过一个点就打个标记为\(-1\)，下一次经过就不重复计算了。
同时，如果一个字符串匹配成功，那么他的\(Fail\)也肯定可以匹配成功（后缀嘛），于是我们就把\(Fail\)再统计答案，同样，\(Fail\)的\(Fail\)也可以匹配成功，以此类推……经过的点累加\(flag\)，标记为\(-1\)。
最后主要还是和\(Trie\)的查询是一样的。
int query(char* s){
int u=1,ans=0,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;i++){
int v=s[i]-\'a\';
int k=trie[u].son[v]; //跳Fail
while(k>1&&trie[k].flag!=-1){ //经过就不统计了
ans+=trie[k].flag,trie[k].flag=-1; //累加上这个位置的模式串个数，标记 已 经过
k=trie[k].fail; //继续跳Fail
}
u=trie[u].son[v]; //到儿子那,存在性看上面的第二种情况
}
return ans;
}
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1000001
using namespace std;
struct kkk{
int son[26],flag,fail;
}trie[maxn];
int n,cnt;
char s[1000001];
queue<int >q;
void insert(char* s){
int u=1,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;i++){
int v=s[i]-\'a\';
if(!trie[u].son[v])trie[u].son[v]=++cnt;
u=trie[u].son[v];
}
trie[u].flag++;
}
void getFail(){
for(int i=0;i<26;i++)trie[0].son[i]=1; //初始化0的所有儿子都是1
q.push(1);trie[1].fail=0; //将根压入队列
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
for(int i=0;i<26;i++){ //遍历所有儿子
int v=trie[u].son[i]; //处理u的i儿子的fail，这样就可以不用记父亲了
int Fail=trie[u].fail; //就是fafail，trie[Fail].son[i]就是和v值相同的点
if(!v){trie[u].son[i]=trie[Fail].son[i];continue;} //不存在该节点，第二种情况
trie[v].fail=trie[Fail].son[i]; //第三种情况，直接指就可以了
q.push(v); //存在实节点才压入队列
}
}
}
int query(char* s){
int u=1,ans=0,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;i++){
int v=s[i]-\'a\';
int k=trie[u].son[v]; //跳Fail
while(k>1&&trie[k].flag!=-1){ //经过就不统计了
ans+=trie[k].flag,trie[k].flag=-1; //累加上这个位置的模式串个数，标记已经过
k=trie[k].fail; //继续跳Fail
}
u=trie[u].son[v]; //到下一个儿子
}
return ans;
}
int main(){
cnt=1; //代码实现细节，编号从1开始
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%s",s);
insert(s);
}
getFail();
scanf("%s",s);
printf("%d\n",query(s));
return 0;
}
updata：2019/5/7 AC自动机的应用
AC自动机的一些应用
先拿P3796 【模板】AC自动机（加强版）来说吧。
无疑，作为模板2，这道题的解法也是十分的经典。
我们先来分析一下题目：输入和模板1一样
1、求出现次数最多的次数
2、求出现次数最多的模式串
明显，我们如果统计出每一个模式串在文本串出现的次数，那么这道题就变得十分简单了，那么问题就变成了如何统计每个模式串出现的次数。
做法：AC自动机
首先题目统计的是出现次数最多的字符串，所以有重复的字符串是没有关系的。（因为后面的会覆盖前面的，统计的答案也是一样的）
那么我们就将标记模式串的\(flag\)设为当前是第几个模式串。就是下面插入时的变化：
trie[u].flag++;
变为
trie[u].flag=num; //num表示该字符串是第num个输入的
求\(Fail\)指针没有变化，原先怎么求就怎么求。
查询：我们开一个数组\(vis\)，表示第\(i\)个字符串出现的次数。
因为是重复计算，所以不能标记为\(-1\)了。
我们每经过一个点，如果有模式串标记，就将\(vis[模式串标记]++\)。然后继续跳fail，原因上面说过了。
这样我们就可以将每个模式串的出现次数统计出来。剩下的大家应该都会QwQ！
总代码
//AC自动机加强版
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1000001
using namespace std;
char s[151][maxn],T[maxn];
int n,cnt,vis[maxn],ans;
struct kkk{
int son[26],fail,flag;
void clear(){memset(son,0,sizeof(son));fail=flag=0;}
}trie[maxn];
queue<int>q;
void insert(char* s,int num){
int u=1,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;i++){
int v=s[i]-\'a\';
if(!trie[u].son[v])trie[u].son[v]=++cnt;
u=trie[u].son[v];
}
trie[u].flag=num; //变化1：标记为第num个出现的字符串
}
void getFail(){
for(int i=0;i<26;i++)trie[0].son[i]=1;
q.push(1);trie[1].fail=0;
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
int Fail=trie[u].fail;
for(int i=0;i<26;i++){
int v=trie[u].son[i];
if(!v){trie[u].son[i]=trie[Fail].son[i];continue;}
trie[v].fail=trie[Fail].son[i];
q.push(v);
}
}
}
void query(char* s){
int u=1,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;i++){
int v=s[i]-\'a\';
int k=trie[u].son[v];
while(k>1){
if(trie[k].flag)vis[trie[k].flag]++; //如果有模式串标记，更新出现次数
k=trie[k].fail;
}
u=trie[u].son[v];
}
}
void clear(){
for(int i=0;i<=cnt;i++)trie[i].clear();
for(int i=1;i<=n;i++)vis[i]=0;
cnt=1;ans=0;
}
int main(){
while(1){
scanf("%d",&n);if(!n)break;
clear();
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%s",s[i]);
insert(s[i],i);
}
scanf("%s",T);
getFail();
query(T);
for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(vis[i],ans); //最后统计答案
printf("%d\n",ans);
for(int i=1;i<=n;i++)
if(vis[i]==ans)
printf("%s\n",s[i]);
}
}
update:2019/5/9
AC自动机的优化
topo建图优化
让我们了分析一下刚才那个模板2的时间复杂度，算了不分析了，直接告诉你吧，这样暴力去跳\(fail\)的最坏时间复杂度是\(O(模式串长度 · 文本串长度)\)。
为什么？因为对于每一次跳\(fail\)我们都只使深度减\(1\)，那样深度是多少，每一次跳的时间复杂度就是多少。那么还要乘上文本串长度，就几乎是 \(O(模式串长度 · 文本串长度)\)的了。
那么模板1的时间复杂度为什么就只有\(O(模式串总长)\)。因为每一个\(Trie\)上的点都只会经过一次（打了标记），但模板2每一个点就不止经过一次了（重复算，不打标记），所以时间复杂度就爆炸了。
那么我们可不可以让模板2的\(Trie\)上每个点只经过一次呢？
嗯~，还真可以！
题目看这里：P5357 【模板】AC自动机（二次加强版）
做法：拓扑排序
让我们把\(Trie\)上的\(fail\)都想象成一条条有向边，那么我们如果在一个点对那个点进行一些操作，那么沿着这个点连出去的点也会进行操作（就是跳\(fail\)），所以我们才要暴力跳\(fail\)去更新之后的点。
我们还是用上面的图，举个例子解释一下我刚才的意思。
我们先找到了编号\(4\)这个点，编号\(4\)的\(fail\)连向编号\(7\)这个点，编号\(7\)的\(fail\)连向编号\(9\)这个点。那么我们要更新编号\(4\)这个点的值，同时也要更新编号\(7\)和编号\(9\)，这就是暴力跳\(fail\)的过程。
我们下一次找到编号\(7\)这个点，还要再次更新编号\(9\)，所以时间复杂度就在这里被浪费了。
那么我们可不可以在找到的点打一个标记，最后再一次性将标记全部上传 来 更新其他点的\(ans\)。例如我们找到编号\(4\)，在编号\(4\)这个点打一个\(ans\)标记为\(1\)，下一次找到了编号\(7\)，又在编号\(7\)这个点打一个\(ans\)标记为\(1\)，那么最后，我们直接从编号\(4\)开始跳\(fail\)，然后将标记\(ans\)上传，((点i的fail)的ans)加上(点i的ans)，最后使编号\(4\)的\(ans\)为\(1\)，编号\(7\)的\(ans\)为\(2\)，编号\(9\)的\(ans\)为\(2\)，这样的答案和暴力跳\(fail\)是一样的，并且每一个点只经过了一次。
最后我们将有\(flag\)标记的\(ans\)传到\(vis\)数组里，就求出了答案。
em……，建议先消化一下。
那么现在问题来了，怎么确定更新顺序呢？明显我们打了标记后肯定是从深度大的点开始更新上去的。
怎么实现呢？拓扑排序！
我们使每一个点向它的\(fail\)指针连一条边，明显，每一个点的出度为\(1\)（\(fail\)只有一个），入度可能很多，所以我们就不需要像拓扑排序那样先建个图了，直接往\(fail\)指针跳就可以了。
最后我们根据\(fail\)指针建好图后（想象一下，程序里不用实现），一定是一个\(DAG\)，具体原因不解释（很简单的），那么我们就直接在上面跑拓扑排序，然后更新\(ans\)就可以了。
代码实现：
首先是\(getfail\)这里，记得将\(fail\)的入度\(in\)更新。
trie[v].fail=trie[Fail].son[i]; in[trie[v].fail]++; //记得加上入度
然后是\(query\)，不用暴力跳\(fail\)了，直接打上标记就行了，很简单吧
void query(char* s){
int u=1,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;++i)
u=trie[u].son[s[i]-\'a\'],trie[u].ans++; //直接打上标记
}
最后是拓扑，解释都在注释里了OwO!
void topu(){
for(int i=1;i<=cnt;++i)
if(in[i]==0)q.push(i); //将入度为0的点全部压入队列里
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();vis[trie[u].flag]=trie[u].ans; //如果有flag标记就更新vis数组
int v=trie[u].fail;in[v]--; //将唯一连出去的出边fail的入度减去（拓扑排序的操作）
trie[v].ans+=trie[u].ans; //更新fail的ans值
if(in[v]==0)q.push(v); //拓扑排序常规操作
}
}
应该还是很好理解的吧，实现起来也没有多难嘛！
对了还有重复单词的问题，和下面讲的"P3966[TJOI2013]单词"的解决方法一样的，不讲了吧。
习题讲解
这道题和上面那道题没有什么不同，文本串就是将模式串用神奇的字符（例如"♂"）隔起来的串。
但这道题有相同字符串要统计，所以我们用一个\(Map\)数组存这个字符串指的是\(Trie\)中的那个位置，最后把\(vis[Map[i]]\)输出就OK了。
下面是P5357【模板】AC自动机（二次加强版）的代码（套娃？大雾），剩下的大家怎么改应该还是知道的吧。
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 2000001
using namespace std;
char s[maxn],T[maxn];
int n,cnt,vis[200051],ans,in[maxn],Map[maxn];
struct kkk{
int son[26],fail,flag,ans;
}trie[maxn];
queue<int>q;
void insert(char* s,int num){
int u=1,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;++i){
int v=s[i]-\'a\';
if(!trie[u].son[v])trie[u].son[v]=++cnt;
u=trie[u].son[v];
}
if(!trie[u].flag)trie[u].flag=num;
Map[num]=trie[u].flag;
}
void getFail(){
for(int i=0;i<26;i++)trie[0].son[i]=1;
q.push(1);
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
int Fail=trie[u].fail;
for(int i=0;i<26;++i){
int v=trie[u].son[i];
if(!v){trie[u].son[i]=trie[Fail].son[i];continue;}
trie[v].fail=trie[Fail].son[i]; in[trie[v].fail]++;
q.push(v);
}
}
}
void topu(){
for(int i=1;i<=cnt;++i)
if(in[i]==0)q.push(i); //将入度为0的点全部压入队列里
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();vis[trie[u].flag]=trie[u].ans; //如果有flag标记就更新vis数组
int v=trie[u].fail;in[v]--; //将唯一连出去的出边fail的入度减去（拓扑排序的操作）
trie[v].ans+=trie[u].ans; //更新fail的ans值
if(in[v]==0)q.push(v); //拓扑排序常规操作
}
}
void query(char* s){
int u=1,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;++i)
u=trie[u].son[s[i]-\'a\'],trie[u].ans++;
}
int main(){
scanf("%d",&n); cnt=1;
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%s",s);
insert(s,i);
}getFail();scanf("%s",T);
query(T);topu();
for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d\n",vis[Map[i]]);
}
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To be continue……