方向导数(Directional Derivatives)
提到方向导数，我们先来回顾一下导数(Derivative)和偏导数(Partial Derivative)的几何意义。
- 导数是二维平面中，曲线上某一点沿着x轴方向变化的速率，即函数f(x)在该点的斜率；
- 偏导数是在三维空间中，曲面上某一点沿着x轴方向或y轴方向变化的速率，即∂f∂x是函数f(x,y)沿着x轴方向的变化率，∂f∂y是函数f(x,y)沿着y轴方向的变化率（坡度）；
如图所示，∂f∂x表示直线L2所在的斜率，∂f∂y表示直线L1所在的斜率。
偏导数fx(x0,y0)和fy(x0,y0)反映的是曲面z=f(x,y)上的点(x0,y0,f(x0,y0))，沿x轴和y轴方向的坡度。
- 方向导数是在三维空间中，曲面上某一点沿着任一方向的变化率（坡度）；
设二元函数z=f(x,y),M0(x0,y0),单位向量 l⃗ =(cosα,cosβ)，其中cosα,cosβ为方向余弦，α,β分别为l与x轴、y轴的夹角；M(x0+ρcosα,y0+ρcosβ)
如上图，点M0沿着l⃗ 所在的方向移动，到达M，其中 M0M−→−−=ρ⋅l⃗ ; Δx=ρ⋅cosα; Δy=ρ⋅cosβ;
如下图所示，在三维空间中：
其中Δz=f(x0+ρcosα,y0+ρcosβ)−f(x0,y0)为函数f(xy)沿方向l⃗ 所产生的增量；故Δzρ表示沿方向l⃗ 的平均变化率，且当ρ趋于0时，Δzρ表示函数f(x,y)在点f(x0,y0)处沿方向l⃗ 的方向导数
方向导数定义：
函数z=f(x,y)在点M0(x0,y0)处，沿方向l⃗ ={cosα,cosβ}的方向导数：
∂f∂l⃗ =limρ→0f(x0+ρcosα,y0+ρcosβ)−f(x0,y0)ρ,(ρ>0)
通俗的说就是，∂f∂l⃗ 是曲面z=f(x,y)在点M0(x0,y0)处，沿方向l⃗ 的倾斜程度（坡度），如下图：
方向导数与偏导数的关系：
若偏导数∂f∂x,∂f∂y存在，则有：⎧⎩⎨⎪⎪∂f∂x=∂f∂l⃗ ,其中l⃗ ={1,0}，即沿着x轴方向∂f∂y=∂f∂l⃗ ,其中l⃗ ={0,1}，即沿着y轴方向
注：方向导数是单向导数，因为ρ>0；而偏导数是双向导数，因为Δx,Δy可正可负。因此，在一点处沿x轴或y轴方向的方向导数存在，也不能保证该点的偏导数存在。
例：求函数z=x2+y2−−−−−−√在原点沿任何方向的方向导数
设方向向量l⃗ ={cosα,cosβ}，则根据定义有：
∂z∂l⃗ =limρ→0f(x0+ρcosα,y0+ρcosβ)−f(x0,y0)ρ=limρ→0f(ρcosα,ρcosβ)−f(0,0)ρ=limρ→0ρ2cos2α+ρ2cos2β−−−−−−−−−−−−−−−√−0ρ(ρ>0)=1
所以函数z=x2+y2−−−−−−√在原点沿任何方向的方向导数均为1。
但是， z=x2+y2−−−−−−√在原点的两个偏导数都不存在。
方向导数存在的条件和计算公式：
定理：如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)处可微分，则函数在该点沿任意一方向l的方向导数都存在，并且：
∂f∂l⃗ =∂f∂x⋅cosα+∂f∂y⋅cosβ; l⃗ ={cosα,cosβ}为单位向量
⟹={∂f∂x,∂f∂y}⋅{cosα,cosβ}=gradf⋅{cosα,cosβ}=gradf⋅l0→
若l⃗ 不是单位向量，则∂f∂l⃗ =gradf⋅l⃗ |l⃗ |;
易知向量b⃗ 在向量a⃗ 上的投影Projba=b⃗ ⋅a⃗ |a⃗ |，立即推：
方向导数∂f∂l⃗ 是梯度gradf在向量l⃗ 上的投影
三元函数的方向导数：
三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)沿方向l⃗ ={cosα,cosβ,cosγ}的方向导数：
∂f∂l⃗ =∂f∂x⋅cosα+∂f∂y⋅cosβ+∂f∂z⋅cosγ={∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z}⋅{cosα,cosβ,cosγ}
本内容整理自徐小湛老师《高等数学》视频（链接戳此处）
