本文原题: LeetCode.
给定 n, 求解独特二叉搜寻树 (binary search trees) 的个数.
什么是二叉搜寻树?
二叉查找树（Binary Search Tree），或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉排序树。
举个栗子,
给定 n =
3, 共有 5 个.
1 3 3 2 1
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3
本题的解题思路如下:
设n对应的BST个数为h(n), n-1对应的个数为h(n-1)...依此类推.
那么,
- 把1放在根节点, 2...n放在右侧, 总种类是h(1) * h(n-1)
- 把2放在根节点, 1放在左侧, 3...n放在右侧, 总种类是h(2) * h(n-2)
- ....
- 把n放在根节点, 1...n-1放在左侧, 总种类是h(n-1) * h(1)
所以h(n) = h(1) * h(n-1) + h(2) * h(n-2) +...+ h(n-2) * h(2) + h(n-1) * h(1)
上述h(n)表达式即为卡特兰数.(幽兰止水的****博客)
下面是实现的C++代码:
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
if (n < ) return ;
vector<int> h(n+, );
h[] = ;
for(int i = ; i <= n; i++)
for (int j = ; j < i; j++)
h[i] += h[j] * h[i-j-];
return h[n];
}
};
对于此代码本人有一个疑惑, 就是为何h(n) = h(0) * h(n-1) +... 而不是h(n) = h(1) * h(n-1) +... 呢?