有向图强连通分量Tarjan算法

在https://www.byvoid.com/zhs/blog/scc-tarjan中关于Tarjan算法的描述非常好，转述如下：

首先解释几个概念：

有向图强连通分量：在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通（strongly connected）。

如果有向图G的每两个顶点都强连通，则称G是一个强连通图。

非强连通图有向图的极大强连通子图，成为强连通分量（strongly connected components）。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达，{5}，{6}也分别是两个强连通分量。

有向图强连通分量Tarjan算法

求强连通分量的Tarjan算法如下

Targin算法

算法的基本思想如下，任选图中的一个点开始进行深度优先搜索，并按访问的顺序对点u进行编号，将结果存在数组index[u]中。另一个数组low，存储u或u的子树能够追溯到最早的栈中节点的次序号。对于一个边(u,v)我们可得

low(u) = MIN{

      index(u),

      index(v), v还在栈中，此时还没有算完low(v)
      low(v) ，u为v的父节点，v未被访问

当index[u] = low[u]时，以u为根的子树上的所有节点是一个强连通分量

算法的伪代码如下

tarjan(u)

{

    index[u]=low[u]=++tmp                      // 为节点u设定次序编号和low初值,tmp从0开始

    Stack.push(u)                              // 将节点u压入栈中

    for each (u, v) in E                       // 枚举每一条边

        if (v is not visted)               // 如果节点v未被访问过

            tarjan(v)                  // 继续向下找

            low[u] = min(low[u], low[v])

        else if (v in Stack)                   // 如果节点v还在栈内

            low[u] = min(low[u], index[v])

    if (index[u] == low[u])                      // 如果节点u是强连通分量的根

        repeat

            v = Stack.pop                  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点

            print v

        until (u == v)

}

算法应用举例

有向图强连通分量Tarjan算法

NODE　　INDEX　　LOW

1　　　　 0　　　　　0(未算完)

3　　　　1　　　　　1(未算完)

5　　　　2　　　　　2(未算完)

6　　　　3 3(未算完)

{6}为一个强连通分量

NODE　　INDEX　　LOW

1　　　　 0　　　　　0(未算完)

3　　　　1　　　　　1(未算完)

5　　　　2　　　　　2

{5}为一个强连通分量

NODE　　INDEX　　LOW

1　　　　 0　　　　　0(未算完)

3　　　　1　　　　　1(未算完)

4　　　　4 0

NODE　　INDEX　　LOW

1　　　　 0　　　　 0

2　　　　5　　　　　5

3　　　　1　　　　　0

4　　　　4 0

{1,2,3,4}为一个强连通分量，算法结束

算法的复杂度为

O(N+M)，边数+结点数

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有向图强连通分量Tarjan算法

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