POJ 1845 Sumdiv（逆元）

题目链接：Sumdiv

题意：给定两个自然数A，B，定义S为A^B所有的自然因子的和，求出S mod 9901的值。

题解：了解下以下知识点

1.整数的唯一分解定理

任意正整数都有且只有唯一的方式写出其质因子的乘积表达式

$A={p_1}^{k_1}*{p_2}^{k_2}*{p_3}^{k_3}*...*{p_n}^{k_n}$

2.整数因数个数

$B=(k_1+1)*(k_2+1)*(k_3+1)...*(k_n+1)$

3.整数因数总和

$S=(1+p_1+p_1^2+p_1^3+...+{p_1}^{k_1})*(1+p_2+p_2^2+p_2^3+...+{p_2}^{k_2})*...(1+p_n+p_n^2+p_n^3+...+{p_n}^{k_n})$

明显地：先分解整数A，A的整数因数总和能表示，A^B只不过是pi变成pi^B。

通过等比数列求和公式：$\dfrac{{p_1}^{k_1b+1}-1}{p_1-1}=1+p_1+p_1^2+p_1^3+...+{p_1}^{k_1b}$

费马小定理：

$a^{p-1} ≡1 (mod p)$

两边同除以a

$a^{p-2} ≡inv(a) (mod p)$

$inv(a) = a^{p-2} (mod p)$

快速幂求一下即可：

 ll fast_mod(ll x,ll y,ll mod){
     ll res=;
     while(y){
         if(y&) res=fast_mul(res,x,mod);
         x=fast_mul(x,x,mod);
         y>>=;
     }
     return res;
 }

直接使用快速幂可能爆long long，结合快速乘防止爆long long：

 ll fast_mul(ll x,ll y,ll mod){
     ll res=;
     while(y){
         if(y&) res=(res+x)%mod;
         x=(x+x)%mod;
         y>>=;
     }
     return res;
 }

最后一个问题，存在逆元的情况是$ax ≡1(mod p)$

如果a是p的倍数时候左边为0，明显不等于右边。可以使用这个公式

$ans=\dfrac{a}{b}modm=amod(mb)/b$

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 using namespace std;

 typedef long long ll;
 const int N=1e7;
 const ll MOD=;
 ll p[N],k[N];
 ll a,b,c=;

 ll fast_mul(ll x,ll y,ll mod){
     ll res=;
     while(y){
         if(y&) res=(res+x)%mod;
         x=(x+x)%mod;
         y>>=;
     }
     return res;
 }

 ll fast_mod(ll x,ll y,ll mod){
     ll res=;
     while(y){
         if(y&) res=fast_mul(res,x,mod);
         x=fast_mul(x,x,mod);
         y>>=;
     }
     return res;
 }

 void solve(){
     ll res=;
     for(ll i=;i<c;i++){
         ll M=MOD*(p[i]-);
         res=res*(fast_mod(p[i],k[i]*b+,M)+M-)/(p[i]-)%MOD;
     }
     printf("%lld\n",(res+MOD)%MOD);
 }

 int main(){
     while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){
         c=;
         for(ll i=;i*i<=a;i++){
             if(a%i==){
                 ll cnt=;
                 p[c]=i;
                 while(a%i==) a/=i,cnt++;
                 k[c]=cnt;
                 c++;
             }
         }
         if(a>) {p[c]=a;k[c]=;c++;}
         solve();
     }
     return ;
 }