BZOJ 1492: [NOI2007]货币兑换Cash 斜率优化 + splay动态维护凸包

Description

小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A纪念券（以下简称A券）和 B纪念券（以下

简称B券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动，

两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券 和 B券 的

价值分别为 AK 和 BK（元/单位金券）。为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法

。比例交易法分为两个方面：（a）卖出金券：顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例，其意义为：将

 OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以当时的价值兑换为人民币；（b）买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑

换给用户总价值为 IP 的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK；例如，假定接

下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为：

假定在第一天时，用户手中有 100元 人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作：

注意到，同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经

知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能

够获得多少元钱。

Input

输入第一行两个正整数N、S，分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行，第K行三个实数AK、B

K、RateK，意义如题目中所述。对于100%的测试数据，满足：0<AK≤10；0<BK≤10；0<RateK≤100；MaxProfit≤1

0^9。

【提示】

1.输入文件可能很大，请采用快速的读入方式。

2.必然存在一种最优的买卖方案满足：

每次买进操作使用完所有的人民币；

每次卖出操作卖出所有的金券。

Output

只有一个实数MaxProfit，表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。

题解： 令 $f_{i}$ 表示第 $i$ 天所拥有的最大钱数

贪心猜到对于 $A,B$ 不是全部买进就是全部卖出
那么，第 $j$ 天所拥有的 $A$ 券 $x_{j}=\frac{f_{j}R_{j}}{a_{j}R_{j}+b_{j}}$， $B$ 券 $y_{j}=\frac{f_{j}}{a_{j}R_{j}+b_{j}}$
得 $f_{i}\Rightarrow x_{j}a_{i}+y_{j}b_{i}$
将方程写成一次函数的形式：$y_{j}=-\frac{a_{i}}{b_{i}}x_{j}+\frac{f_{i}}{b_{i}}$
对于 $i$来说 $a_{i},b_{i}$ 都是固定的，即斜率是一定的
将 $(x_{j},y_{j})$ 视为二维平面中的点，$f_{i}$ 最大化就是要让斜率为 $-\frac{a_{i}}{b_{i}}$ 的直线获得最大的截距
然而，斜率不是单调的，新加入点的横坐标（$x_{i}$）也不是单调的，所以只能用平衡树来动态维护这个凸包.
需要支持插入一个点，查询一个直线所经过的最优点.
具体细节看代码，思路简单，代码不好写

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 300000
#define inf 0x3f3f3f3f
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
using namespace std;
const double eps = 1e-9;
int root;
struct Splaytree
{
    #define get(x) (ch[f[x]][1]==x)
    int cnt;
    int f[maxn],ch[maxn][2];
    double X[maxn],Y[maxn],lk[maxn],rk[maxn];
    inline void rotate(int x)
    {
        int old=f[x],fold=f[old],which=get(x);
        ch[old][which]=ch[x][which^1],f[ch[old][which]]=old;
        ch[x][which^1]=old,f[old]=x,f[x]=fold;
        if(fold) ch[fold][ch[fold][1]==old]=x;
    }
    inline void splay(int x,int &tar)
    {
        int fa,u=f[tar];
        for(;(fa=f[x])!=u;rotate(x))
            if(f[fa]!=u)
                rotate(get(fa)==get(x)?fa:x);
        tar=x;
    }
    inline double slope(int i,int j)
    {
        return fabs(X[i]-X[j])<=eps ? -inf : (Y[i]-Y[j])/(X[i]-X[j]);
    }
    inline void insert(int &o,double x,double y,int last)
    {
        if(!o)
        {
            o=++cnt;
            X[o]=x,Y[o]=y,f[o]=last;
            return;
        }
        insert(ch[o][x-X[o]>eps],x,y,o);
    }
    inline int pre(int x)
    {
        int cur=ch[x][0],re=0;
        while(cur)
        {
            if(slope(x,cur)+eps>=rk[cur]) re=cur,cur=ch[cur][0];
            else cur=ch[cur][1];
        }
        return re;
    }
    inline int nxt(int x)
    {
        int cur=ch[x][1],re=0;
        while(cur)
        {
            if(slope(x,cur)<=lk[cur]+eps) re=cur,cur=ch[cur][1];
            else cur=ch[cur][0];
        }
        return re;
    }
    inline int getl(int x)
    {
        while(ch[x][0]) x=ch[x][0];
        return x;
    }
    inline int getr(int x)
    {
        while(ch[x][1]) x=ch[x][1];
        return x;
    }
    inline void del(int x)
    {
        if(!ch[x][0])
        {
            int right=getl(ch[x][1]);
            splay(right,ch[x][1]),root=right;
            ch[x][1]=f[root]=0;
            lk[root]=inf;
        }
        else if(!ch[x][1])
        {
            int left=ch[x][0];
            splay(left,ch[x][0]),root=left;
            ch[x][0]=f[root]=0;
            rk[root]=-inf;
        }
        else
        {
            int right=getl(ch[x][1]);
            int left=getr(ch[x][0]);
            splay(left,ch[x][0]);
            splay(right,ch[x][1]);
            root=left;
            ch[root][1]=right,f[right]=root;
            rk[root]=lk[right]=slope(root,right);
        }
    }
    inline void maintain(int x)
    {
        splay(x,root);
        if(ch[x][0])
        {
            int left=pre(x);
            if(left)
            {
                splay(left,ch[x][0]);
                ch[left][1]=f[ch[left][1]]=0;
                rk[left]=lk[x]=slope(left,x);
            }
            else lk[x]=-inf;
        }
        else lk[x]=inf;
        if(ch[x][1])
        {
            int right=nxt(x);
            if(right)
            {
                splay(right,ch[x][1]);
                ch[right][0]=f[ch[right][0]]=0;
                rk[x]=lk[right]=slope(right,x);
            }
            else rk[x]=inf;
        }
        else rk[x]=-inf;
        if(lk[x]-rk[x]<=eps) del(x);
    }
    inline int getans(int x,double k)
    {
    	if(!x) return 0;
    	if(lk[x]+eps>=k&&rk[x]<=k+eps) return x;
    	if(lk[x]<k+eps) return getans(ch[x][0],k);
    	else return getans(ch[x][1],k);
    }
}splay;
int n,S;
double f[maxn],A[maxn],B[maxn],rate[maxn];
int main()
{
    int i,j;
    // setIO("input");
    scanf("%d%lf",&n,&f[0]);
    for(i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%lf%lf%lf",&A[i],&B[i],&rate[i]);
        int j=splay.getans(root,-(A[i]/B[i]));
        double x=splay.X[j],y=splay.Y[j];
        f[i]=max(f[i-1],A[i]*x+B[i]*y);
        y=f[i]/(A[i]*rate[i]+B[i]);
        x=y*rate[i];
        splay.insert(root,x,y,0);
        splay.maintain(i);
    }
    printf("%.3lf",f[n]);
    return 0;
}