LA@二次型和标准化

文章目录

• ​​实二次型​​

• ​​n元实二次型​​
• ​​二次型和对称阵​​

• ​​二次型的秩​​
• ​​利用对称阵研究二次型​​

• ​​例​​

• ​​线性变换和矩阵合同​​

• ​​线性变换????​​
• ​​方阵合同​​

• ​​合同的性质​​

• ​​二次型的标准形​​

• ​​二次型可以被可逆变换标准化的条件????​​

• ​​标准化方法​​

• ​​正交变换法​​
• ​​配方法​​
• ​​例​​

• ​​例​​

• ​​初等变换法​​

实二次型

• 二次型的理论起源于解系几何中的"二次曲线"和"二次曲面"方程的化简问题

n元实二次型

• 含有n个未知数的实系数二次齐次多项式

• 
• 
  
• 

二次型和对称阵

• 给定一个二次型,可以唯一确定一个对称阵A;
• 对于一个对称阵A,可以唯一确定一个二次型
• 二次型和对称阵可以确立一 一对应的关系

• 对称阵称为二次型的矩阵
• 称为对称阵的二次型

二次型的秩

• 对称阵A的秩称为二次型的秩

利用对称阵研究二次型

• 由于二次型和对称阵关系密切,可以通过研究二次型的对称阵来研究二次型本身

例

• 

• 这个形式有利于我们从给定的二次型中还原出对称阵A

• 例:

• 
• 
• 解上述方程,并且有对称性得到
• 
• 其余非对角线元素默认补零,因此得到对称阵A
  
• 
• 

• 根据矩阵A写出对应的二次型是类似的过程,依然使用上述的公式

线性变换和矩阵合同

线性变换????

• 和线性组合相反
• 设和是两组变量

• 满足

• 

• 的(关于矩阵)的线性变换:
  

• 矩阵C称为线性变换的矩阵
• 若,则称线性变换非退化变换(可逆变线性变换,不引起歧义的情况下,简称可逆变换)
• 当是正交矩阵(),则称该线性变换为正交变换

• 正交变换一定是可逆变换(因为正交矩阵一定是可逆矩阵)

• 将可逆线性变换带入二次型,()

• 
• 记????,则

• 其中,又因为,则,因此
• 所以,是一个关于D和y的二次型

• 根据上述讨论,一个二次型经过可逆变线性变换后,依然还是一个二次型

方阵合同

• 设,如果存在,则称和B是合同的,记为

• 形式上类似于方阵相似

• 经过可逆变换,新二次型和原二次型的矩阵是合同的

合同的性质

• 
• 
• 
• 特别的,当可逆线性变换使用的可逆矩阵Q是正交矩阵(),此时
• 任意实对称阵A合同于对角阵,即

• 
• 在矩阵相似中定理:

• 
• 则,即

二次型的标准形

• 二次型中最简单的情况是仅含有平方项的二次型

• 

• 如果二次型只含有变量的平方项,则称之位二次型的标准形

• 如何通过一个可逆线性变换把二次型化为只含有平方项(而不含交叉项)的二次型?
• 
• 可见,标准形的矩阵

二次型可以被可逆变换标准化的条件????

• 可逆线性变换
• 
• 对于而言,经过可逆矩阵C做可逆线性变换后得到新二次型

• 其中
• 根据二次型标准形的矩阵的形式(是一个对角阵),可知,只有当才可能被可逆变换位标准型
• 这个条件等价于,即
• 如果存在某个可逆举着P使得,则可以通过可逆线性变换进行标准化

• 同时,线性变换为
• 即,若可逆矩阵P能使得,二次型可通过可逆线性变换得到标准化的二次型

• 如果不存在这样的,则不可被标准化

• 并且等于中的非零值个数

• 

标准化方法

正交变换法

• 对于二次型,一定存在一个正交(可逆)线性变换,使得可以化为标准形

• 

• 证明:

• 二次型的矩阵A满足,因此一定存在使得
• 对按做正交可逆线性变换:

• 

• 该定理同时也给出使用二次型A标准化的步骤(如果)

• 该方法通过计算出一个特定的正交矩阵Q,并用Q来进行线性变换实现得到标准形
• 求出n元二次型矩阵A的全部特征值,它们分别是重根(而且对应个线性无关的(互异)特征向量)

• ,(表示A有s个互异的特征根)

• 对每个求出对应的齐次线性方程组的基础解系(包含个线性无关向量)

• ,表示向量(组)属于特征值,包含个线性无关的向量
• 对正交化得到向量组(正交化后的向量)
• 矩阵,则能使
• 做正交线性变换,

• 

配方法

• 标准化不一定要用正交变换法(找到一个特定的正交矩阵),可以用一个一般的可逆矩阵来标准化
• 若二次型中含有平方项(系数),

• 归并所有含有的项

• 

• 然后进行配方

• 
• 
  

• 若二次型f中不含平方项的系数都为0

• 执行可逆变换T:

• 

• 任何二次型都可以用配方法找到可逆线性变换,将其化为标准形
• 标准形种含有的项数等于二次型(矩阵)的秩(前面讨论过)

例

• 
• 
• 

例

• 

• 对于

• 
• 把T带入;

• 
• 问题转换为第一种类型
• 
• 令
  
• 

初等变换法

• 任意实对称阵A都合同于对角阵

• 存在可逆矩阵,使得

• (事实上一定存在可逆正交矩阵Q),使得,当然也就存在可逆矩阵能使

• 由于P可逆,所以可以记,其中为初等矩阵

• 而初等矩阵的转置也是初等矩阵,从而也都是初等矩阵

• 从而

• 

• 这个式子表明,我们可以通过成对的行列变换将对称阵A变换为一个对角阵

• 初等变换包括:交换,倍乘,倍加,不妨将它们分别记为操作

• 对于行变换,则具体为,等价于左乘某个初等矩阵
• 对于行变换,则具体为,等价于右乘初等矩阵

• 那么成对的行列变换可以理解为,对方阵A执行一次操作,就要跟上一个操作,

• 

• 由,可知,我们可通过一个单位阵E,把上述变换所执行的所有右乘初等矩阵单独记录下来()

• 总结初等变换法的步骤:

• 构造松散分块矩阵

• 之所以称为松散,因为我们在将变换为时,E只需要接收列变换,而不需要做行变换

• 当被一系列成对的初等行列变换转为对角阵,则下方的也就变成了
• 因此P和是同时被求解出来:
• 得到的P就是能够满足(即,使二次型标准化)的可逆矩阵,对应的线性变换为