神经网络基础部件-损失函数详解

时间:2023-01-13 22:09:40

一,损失函数概述

大多数深度学习算法都会涉及某种形式的优化,所谓优化指的是改变 \(x\) 以最小化或最大化某个函数 \(f(x)\) 的任务,我们通常以最小化 \(f(x)\) 指代大多数最优化问题。

在机器学习中,损失函数是代价函数的一部分,而代价函数是目标函数的一种类型。

  • 损失函数loss function): 用于定义单个训练样本预测值与真实值之间的误差
  • 代价函数cost function): 用于定义单个批次/整个训练集样本预测值与真实值之间的累计误差。
  • 目标函数objective function): 泛指任意可以被优化的函数。

损失函数定义:损失函数是深度学习模型训练过程中关键的一个组成部分,其通过前言的内容,我们知道深度学习算法优化的第一步首先是确定目标函数形式。

损失函数大致可分为两种:回归损失(针对连续型变量)和分类损失(针对离散型变量)。

常用的减少损失函数的优化算法是“梯度下降法”(Gradient Descent)。

二,交叉熵函数-分类损失

交叉熵损失(Cross-Entropy Loss) 又称为对数似然损失(Log-likelihood Loss)、对数损失,二分类时还可称之为逻辑斯谛回归损失(Logistic Loss)。

2.1,交叉熵(Cross-Entropy)的由来

交叉熵损失的由来参考文档 AI-EDU: 交叉熵损失函数

1,信息量

信息论中,信息量的表示方式:

《深度学习》(花书)中称为自信息(self-information) 。
在本文中,我们总是用 \(\text{log}\) 来表示自然对数,其底数\(e\)

\[I(x_j) = -\log (p(x_j)) \]

  • \(x_j\):表示一个事件
  • \(p(x_j)\):表示事件 \(x_j\) 发生的概率
  • \(I(x_j)\):信息量,\(x_j\) 越不可能发生时,它一旦发生后的信息量就越大

2,熵

信息量只处理单个的输出。我们可以用熵(也称香农熵 Shannon entropy)来对整个概率分布中的不确定性总量进行量化:

\[H(p) = - \sum_j^n p(x_j) \log (p(x_j)) \]

则上面的问题的熵是:

\[\begin{aligned} H(p)&=-[p(x_1) \ln p(x_1) + p(x_2) \ln p(x_2) + p(x_3) \ln p(x_3)] \\\ &=0.7 \times 0.36 + 0.2 \times 1.61 + 0.1 \times 2.30 \\\ &=0.804 \end{aligned} \]

3,相对熵(KL散度)

相对熵又称 KL 散度,如果对于同一个随机变量 \(x\) 有两个单独的概率分布 \(P(x)\)\(Q(x)\),则可以使用 KL 散度(Kullback-Leibler (KL) divergence)来衡量这两个分布的差异,这个相当于信息论范畴的均方差。

KL散度的计算公式:

\[D_{KL}(p||q)=\sum_{j=1}^m p(x_j) \log {p(x_j) \over q(x_j)} \]

\(m\) 为事件的所有可能性(分类任务中对应类别数目)。\(D\) 的值越小,表示 \(q\) 分布和 \(p\) 分布越接近

4,交叉熵

把上述交叉熵公式变形:

\[\begin{aligned} D_{KL}(p||q)&=\sum_{j=1}^m p(x_j) \log {p(x_j)} - \sum_{j=1}^m p(x_j) \log q(x_j) \\\ &=- H(p(x)) + H(p,q) \end{aligned} \]

等式的前一部分恰巧就是 \(p\) 的熵,等式的后一部分,就是交叉熵(机器学习中 \(p\) 表示真实分布(目标分布),\(q\) 表示预测分布):

\[H(p,q) =- \sum_{j=1}^m p(x_j) \log q(x_j) \]

在机器学习中,我们需要评估标签值 \(y\) 和预测值 \(a\) 之间的差距熵(即两个概率分布之间的相似性),使用 KL 散度 \(D_{KL}(y||a)\) 即可,但因为样本标签值的分布通常是固定的,即 \(H(a)\) 不变。因此,为了计算方便,在优化过程中,只需要关注交叉熵就可以了。所以,在机器学习中一般直接用交叉熵做损失函数来评估模型

\[loss = \sum_{j = 1}^{m}y_{j}\text{log}(a_{j}) \]

上式是单个样本的情况,\(m\) 并不是样本个数,而是分类个数。所以,对于批量样本的交叉熵损失计算公式(很重要!)是:

\[J = -\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{m} y_{ij} \log a_{ij} \]

其中,\(n\) 是样本数,\(m\) 是分类数。

公式参考文章-AI-EDU: 交叉熵损失函数,但是将样本数改为 \(n\),类别数改为 \(m\)

有一类特殊问题,就是事件只有两种情况发生的可能,比如“是狗”和“不是狗”,称为 \(0/1\) 分类或二分类。对于这类问题,由于 \(m=2,y_1=1-y_2,a_1=1-a_2\),所以二分类问题的单个样本的交叉熵可以简化为:

\[loss =-[y \log a + (1-y) \log (1-a)] \]

二分类对于批量样本的交叉熵计算公式是:

\[J= -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n [y_i \log a_i + (1-y_i) \log (1-a_i)] \]

为什么交叉熵的代价函数是求均值而不是求和?
Cross entropy loss is defined as the “expectation” of the probability distribution of a random variable ????, and that’s why we use mean instead of sum. 参见这里

2.1.1,熵、相对熵以及交叉熵总结

交叉熵 \(H(p, q)\) 也记作 \(CE(p, q)\)\(H(P, Q)\),其另一种表达公式(公式表达形式虽然不一样,但是意义相同):

\[H(P, Q) = -\mathbb{E}_{\textrm{x}\sim p}log(q(x)) \]

交叉熵函数常用于逻辑回归(logistic regression),也就是分类(classification)。

根据信息论中熵的性质,将熵、相对熵(KL 散度)以及交叉熵的公式放到一起总结如下:

\[\begin{align} H(p) &= -\sum_{j}p(x_j) \log p(x_j) \\ D_{KL}(p \parallel q) &= \sum_{j}p(x_j)\log \frac{p(x_j)}{q(x_j)} = \sum_j (p(x_j)\log p(x_j) - p(x_j) \log q(x_j)) \\ H(p,q) &= -\sum_j p(x_j)\log q(x_j) \end{align} \]

2.2,二分类问题的交叉熵

把二分类的交叉熵公式 4 分解开两种情况:

  • \(y=1\) 时,即标签值是 \(1\) ,是个正例,加号后面的项为: \(loss = -\log(a)\)
  • \(y=0\) 时,即标签值是 \(0\),是个反例,加号前面的项为 \(0\): \(loss = -\log (1-a)\)

横坐标是预测输出,纵坐标是损失函数值。\(y=1\) 意味着当前样本标签值是1,当预测输出越接近1时,损失函数值越小,训练结果越准确。当预测输出越接近0时,损失函数值越大,训练结果越糟糕。此时,损失函数值如下图所示。

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2.3,多分类问题的交叉熵

当标签值不是非0即1的情况时,就是多分类了。

假设希望根据图片动物的轮廓、颜色等特征,来预测动物的类别,有三种可预测类别:猫、狗、猪。假设我们训练了两个分类模型,其预测结果如下:

模型1:

预测值 标签值 是否正确
0.3 0.3 0.4 0 0 1(猪) 正确
0.3 0.4 0.4 0 1 0(狗) 正确
0.1 0.2 0.7 1 0 0(猫) 错误

每行表示不同样本的预测情况,公共 3 个样本。可以看出,模型 1 对于样本 1 和样本 2 以非常微弱的优势判断正确,对于样本 3 的判断则彻底错误。

模型2:

预测值 标签值 是否正确
0.1 0.2 0.7 0 0 1(猪) 正确
0.1 0.7 0.2 0 1 0(狗) 正确
0.3 0.4 0.4 1 0 0(猫) 错误

可以看出,模型 2 对于样本 1 和样本 2 判断非常准确(预测概率值更趋近于 1),对于样本 3 虽然判断错误,但是相对来说没有错得太离谱(预测概率值远小于 1)。

结合多分类的交叉熵损失函数公式可得,模型 1 的交叉熵为:

\[\begin{aligned} \text{sample}\ 1\ \text{loss} = -(0\times log(0.3) + 0\times log(0.3) + 1\times log(0.4) = 0.91 \\ \text{sample}\ 1\ \text{loss} = -(0\times log(0.3) + 1\times log(0.4) + 0\times log(0.4) = 0.91 \\ \text{sample}\ 1\ \text{loss} = -(1\times log(0.1) + 0\times log(0.2) + 0\times log(0.7) = 2.30 \end{aligned} \]

对所有样本的 loss 求平均:

\[L = \frac{0.91 + 0.91 + 2.3}{3} = 1.37 \]

模型 2 的交叉熵为:

\[\begin{aligned} \text{sample}\ 1\ \text{loss} = -(0\times log(0.1) + 0\times log(0.2) + 1\times log(0.7) = 0.35 \\ \text{sample}\ 1\ \text{loss} = -(0\times log(0.1) + 1\times log(0.7) + 0\times log(0.2) = 0.35 \\ \text{sample}\ 1\ \text{loss} = -(1\times log(0.3) + 0\times log(0.4) + 0\times log(0.4) = 1.20 \end{aligned} \]

对所有样本的 loss 求平均:

\[L = \frac{0.35 + 0.35 + 1.2}{3} = 0.63 \]

可以看到,0.63 比 1.37 的损失值小很多,这说明预测值越接近真实标签值,即交叉熵损失函数可以较好的捕捉到模型 1 和模型 2 预测效果的差异。交叉熵损失函数值越小,反向传播的力度越小

多分类问题计算交叉熵的实例来源于知乎文章-损失函数|交叉熵损失函数

2.4,PyTorch 中的 Cross Entropy

PyTorch 中常用的交叉熵损失函数为 torch.nn.CrossEntropyLoss

class torch.nn.CrossEntropyLoss(weight=None, size_average=None,
                                ignore_index=-100, reduce=None, 
                                reduction='elementwise_mean')

1,函数功能:

将输入经过 softmax 激活函数之后,再计算其与 target 的交叉熵损失。即该方法将 nn.LogSoftmax()nn.NLLLoss()进行了结合。严格意义上的交叉熵损失函数应该是 nn.NLLLoss()

2,参数解释:

  • weight(Tensor)- 为每个类别的 loss 设置权值,常用于类别不均衡问题。weight 必须是 float 类型的 tensor,其长度要于类别 C 一致,即每一个类别都要设置有 weight。
  • size_average(bool)- 当 reduce=True 时有效。为 True 时,返回的 loss 为平均值;为 False 时,返回的各样本的 loss 之和。
  • reduce(bool)- 返回值是否为标量,默认为 True。
  • ignore_index(int)- 忽略某一类别,不计算其 loss,其 loss 会为 0,并且,在采用 size_average 时,不会计算那一类的 loss,除的时候的分母也不会统计那一类的样本。

2.4.1,Softmax 多分类函数

注意: Softmax 用作模型最后一层的函数通常和交叉熵作损失函数配套搭配使用,应用于多分类任务。

对于二分类问题,我们使用 Logistic 函数计算样本的概率值,从而把样本分成了正负两类。对于多分类问题,则使用 Softmax 作为模型最后一层的激活函数来将多分类的输出值转换为范围在 [0, 1] 和为 1 的概率分布

Softmax 从字面上来说,可以分成 soft 和 max 两个部分。max 故名思议就是最大值的意思。Softmax 的核心在于 soft,而 soft 有软的含义,与之相对的是 hard 硬,即 herdmax。下面分布演示将模型输出值取 max 值引入 Softmax 的对比情况。

取max值(hardmax)

假设模型输出结果 \(z\) 值是 \([3,1,-3]\),如果取 max 操作会变成 \([1, 0, 0]\),这符合我们的分类需要,即三者相加为1,并且认为该样本属于第一类。但是有两个不足:

  1. 分类结果是 \([1,0,0]\),只保留非 0 即 1 的信息,即非黑即白,没有各元素之间相差多少的信息,可以理解是“Hard Max”;
  2. max 操作本身不可导,无法用在反向传播中。

引入Softmax

Softmax 加了个"soft"来模拟 max 的行为,但同时又保留了相对大小的信息。

\[a_j = \text{Softmax}(z_j) = \frac{e^{z_j}}{\sum\limits_{i=1}^m e^{z_i}}=\frac{e^{z_j}}{e^{z_1}+e^{z_2}+\dots+e^{z_m}} \]

上式中:

  • \(z_j\) 是对第 \(j\) 项的分类原始值,即矩阵运算的结果
  • \(z_i\) 是参与分类计算的每个类别的原始值
  • \(m\) 是总分类数
  • \(a_j\) 是对第 \(j\) 项的计算结果

和 hardmax 相比,Softmax 的含义就在于不再唯一的确定某一个最大值,而是为每个输出分类的结果都赋予一个概率值(置信度),表示属于每个类别的可能性。

下图可以形象地说明 Softmax 的计算过程。

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当输入的数据 \([z_1,z_2,z_3]\)\([3, 1, -3]\) 时,按照图示过程进行计算,可以得出输出的概率分布是 \([0.879,0.119,0.002]\)。对比 max 运算和 Softmax 的不同,如下表所示。

输入原始值 MAX计算 Softmax计算
\([3, 1, -3]\) \([1, 0, 0]\) \([0.879, 0.119, 0.002]\)

可以看出 Softmax 运算结果两个特点:

  1. 三个类别的概率相加为 1
  2. 每个类别的概率都大于 0

下面我再给出 hardmax 和 softmax 计算的代码实现。

# example of the argmax of a list of numbers
from numpy import argmax
from numpy import exp

# define data
data = [3, 1, -3]

def hardmax(data):
    """# calculate the argmax of the list"""
    result = argmax(data) 
    return result

def softmax(vector):
    """# calculate the softmax of a vector"""
    e = exp(vector)
    return e / e.sum()

hardmax_result = hardmax(data)
# 运行该示例返回列表索引值“0”,该值指向包含列表“3”中最大值的数组索引 [1]。
print(hardmax(data)) # 0

# convert list of numbers to a list of probabilities
softmax_result = softmax(data) 
print(softmax_result) # report the probabilities
print(sum(softmax_result)) # report the sum of the probabilitie

运行以上代码后,输出结果如下:

0
[0.87887824 0.11894324 0.00217852]
1.0

很明显程序的输出结果和我们手动计算的结果是一样的。

Pytorch 中的 Softmax 函数定义如下:

def softmax(x):
    return torch.exp(x)/torch.sum(torch.exp(x), dim=1).view(-1,1)

dim=1 用于 torch.sum() 对所有列的每一行求和,.view(-1,1) 用于防止广播。

2.5,为什么不能使用均方差做为分类问题的损失函数?

回归问题通常用均方差损失函数,可以保证损失函数是个凸函数,即可以得到最优解。而分类问题如果用均方差的话,损失函数的表现不是凸函数,就很难得到最优解。而交叉熵函数可以保证区间内单调。

分类问题的最后一层网络,需要分类函数,Sigmoid 或者 Softmax,如果再接均方差函数的话,其求导结果复杂,运算量比较大。用交叉熵函数的话,可以得到比较简单的计算结果,一个简单的减法就可以得到反向误差。

三,回归损失

与分类问题不同,回归问题解决的是对具体数值的预测。解决回归问题的神经网络一般只有只有一个输出节点,这个节点的输出值就是预测值。

回归问题的一个基本概念是残差或称为预测误差,用于衡量模型预测值与真实标记的靠近程度。假设回归问题中对应于第 \(i\) 个输入特征 \(x_i\)标签\(y^i = (y_1,y_2,...,y_M)^{\top}\)\(M\) 为标记向量总维度,则 \(l_{t}^{i}\) 即表示样本 \(i\) 上神经网络的回归预测值 (\(y^i\)) 与其样本标签值在第 \(t\) 维的预测误差(亦称残差):

\[l_{t}^{i} = y_{t}^{i} - \hat{y}_{t}^{i} \]

常用的两种损失函数为 \(\text{MAE}\)(也叫 L1 损失) 和 \(\text{MSE}\) 损失函数(也叫 L2 损失)。

3.1,MAE 损失

平均绝对误差(Mean Absolute Error,MAE)是用于回归模型的最简单但最强大的损失函数之一。

因为存在离群值(与其余数据差异很大的值),所以回归问题可能具有本质上不是严格高斯分布的变量。 在这种情况下,平均绝对误差将是一个理想的选择,因为它没有考虑异常值的方向(不切实际的高正值或负值)。

顾名思义,MAE 是目标值和预测值之差的绝对值之和\(n\) 是数据集中数据点的总数,其公式如下:

\[\text{MAE loss} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{N}\sum_{t=1}^{M} |y_{t}^{i} - \hat{y}_{t}^{i}| \]

3.2,MSE 损失

均方误差(Mean Square Error, MSE)几乎是每个数据科学家在回归损失函数方面的偏好,这是因为大多数变量都可以建模为高斯分布

均方误差计算方法是求预测值与真实值之间距离的平方和。预测值和真实值越接近,两者的均方差就越小。公式如下:

\[\text{MSE loss} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{N}\sum_{t=1}^{M} (y_{t}^{i} - \hat{y}_{t}^{i})^2 \]

3.3,Huber 损失

MAE 和 MSE 损失之间的比较产生以下结果:

  1. MAE 损失比 MSE 损失更稳健。仔细查看公式,可以观察到如果预测值和实际值之间的差异很大,与 MAE 相比,MSE 损失会放大效果。 由于 MSE 会屈服于异常值,因此 MAE 损失函数是更稳健的损失函数。

  2. MAE 损失不如 MSE 损失稳定。由于 MAE 损失处理的是距离差异,因此一个小的水平变化都可能导致回归线波动很大。在多次迭代中发生的影响将导致迭代之间的斜率发生显著变化。总结就是,MSE 可以确保回归线轻微移动以对数据点进行小幅调整。

  3. MAE 损失更新的梯度始终相同。即使对于很小的损失值,梯度也很大。这样不利于模型的学习。为了解决这个缺陷,我们可以使用变化的学习率,在损失接近最小值时降低学习率。

  4. MSE 损失的梯度随损失增大而增大,而损失趋于0时则会减小。其使用固定的学习率也可以有效收敛。

Huber Loss 结合了 MAE 的稳健性和 MSE 的稳定性,本质上是 MAE 和 MSE 损失中最好的。对于大误差,它是线性的,对于小误差,它本质上是二次的

Huber Loss 的特征在于参数 \(\delta\)。当 \(|y − \hat{y}|\) 小于一个事先指定的值 $\delta $ 时,变为平方损失,大于 $\delta $ 时,则变成类似于绝对值损失,因此其是比较robust 的损失函数。其定义如下:

\[\text{Huber loss} = \left\{\begin{matrix}\frac12[y_{t}^{i} - \hat{y}_{t}^{i}]^2 & \qquad |y_{t}^{i} - \hat{y}_{t}^{i}| \leq \delta \\ \delta|y_{t}^{i} - \hat{y}_{t}^{i}| - \frac12\delta^2 & \qquad |y_{t}^{i} - \hat{y}_{t}^{i})| > \delta\end{matrix}\right. \]

三种回归损失函数的曲线图比较如下:

神经网络基础部件-损失函数详解

代码来源 Loss Function Plot.ipynb

三种回归损失函数的其他形式定义如下:

神经网络基础部件-损失函数详解

3.4,代码实现

下面是三种回归损失函数的 python 代码实现,以及对应的 sklearn 库的内置函数。

# true: Array of true target variable
# pred: Array of predictions
def mse(true, pred):
    return np.sum((true - pred)**2)

def mae(true, pred):
    return np.sum(np.abs(true - pred))

def huber(true, pred, delta):
    loss = np.where(np.abs(true-pred) < delta , 0.5*((true-pred)**2),delta*np.abs(true - pred) - 0.5*(delta**2))

    return np.sum(loss)

# also available in sklearn
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.metrics import mean_absolute_error

参考资料

  1. 《动手学深度学习-22.11. Information Theory》
  2. 损失函数|交叉熵损失函数
  3. AI-EDU: 交叉熵损失函数
  4. 常见回归和分类损失函数比较
  5. 《PyTorch_tutorial_0.0.5_余霆嵩》
  6. https://pytorch.org/docs/stable/generated/torch.nn.CrossEntropyLoss.html
  7. 一文详解Softmax函数
  8. AI-EDU: 多分类函数