hdu 4521 小明系列问题——小明序列(线段树 or DP)

时间:2023-01-14 19:31:14

  题目链接:hdu 4521

  本是 dp 的变形,却能用线段树,感觉好强大。

  由于 n 有 10^5,用普通的 dp,算法时间复杂度为 O(n2),肯定会超时。所以用线段树进行优化。线段树维护的是区间内包含某点的最大满足条件的长度,叶子节点以该元素结尾,最长长度。至于相邻两项隔 d 个位置,求 dp[i] 时,我们只把 dp[i - d - 1] 更新至线段树中,然后在这颗线段树中找最大的个数。

  具体来说,就是把序列 S 的值 Ai 作为线段树叶子下标,以 Ai 结尾的 LIS 长度(即经典算法里的 dp[i])作为叶子结点的值,然后对每个 Ai,查询 0 ~ Ai - 1 的最大的 LIS 长度(也就是 dp[]),这个用线段树实现可以很快地得到结果;至于更新时,不能每遍历到一个就直接更新,因为这样子的话 A[i - d] ~ A[i - 1] 会被加入到线段树中,它们对 A[i] 无任何作用,却会对线段树的查询结果有干扰,因此我们在对每一个 Ai 进行查询(即计算出对应的 dp[i])前,就只把 A[i - d - 1] 即 dp[i - d - 1] 加入到线段树中即可,这个操作是很关键的。理清思路后,就是线段树的单点更新、区间查询了。

  因为我写线段树习惯从 1 开始,所以对所有元素都 +1 了。

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 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 #define  root  int rt, int l, int r
 6 #define  lson  rt << 1, l, mid
 7 #define  rson  rt << 1 | 1, mid + 1, r
 8 #define  makemid  int mid = l + r >> 1
 9 const int N = 100005;
10 
11 int len[N << 2];
12 
13 void build(root) {
14     len[rt] = 0;
15     if(l == r)  return ;
16     makemid;
17     build(lson);
18     build(rson);
19 }
20 
21 inline void pushup(int rt) {
22     len[rt] = max(len[rt << 1], len[rt << 1 | 1]);
23 }
24 
25 int pos, val;
26 void update(root) {
27     if(l == r) {
28         len[rt] = max(len[rt], val);
29         return ;
30     }
31     makemid;
32     if(pos <= mid)  update(lson);
33     else    update(rson);
34     pushup(rt);
35 }
36 
37 int ql,qr;
38 int query(root) {
39     if(ql <= l && r <= qr)  return len[rt];
40     makemid;
41     int res = 0;
42     if(ql <= mid)   res = max(res, query(lson));
43     if(qr > mid)    res = max(res, query(rson));
44     return res;
45 }
46 
47 int dp[N], num[N];
48 
49 int main() {
50     int n,d;
51     while(~scanf("%d%d",&n,&d)) {
52         int mm = 0, ans = 0;
53         for(int i = 1; i <= n; ++i) {
54             scanf("%d",num + i);
55             ++num[i];
56             mm = max(mm, num[i]);
57         }
58         build(1,1,mm);
59         for(int i = 1; i <= n; ++i) {
60             if(i - d - 1 >= 1) {        //这是关键,只把 i-d-1 前面的更新至线段树中
61                 pos = num[i - d - 1];
62                 val = dp[i - d - 1];
63                 update(1,1,mm);
64             }
65             if(num[i] == 1)    dp[i] = 1;
66             else {
67                 ql = 1;
68                 qr = num[i] - 1;
69                 dp[i] = query(1,1,mm) + 1;
70             }
71             ans = max(ans, dp[i]);
72         }
73         printf("%d\n",ans);
74     }
75     return 0;
76 }
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