题目描述
小南一共有\(n\)种不同的玩具小人，每种玩具小人的数量都可以被认为是无限大。每种玩具小人都有特定的血量，第\(i\)种玩具小人的血量就是整数\(i\)。此外，每种玩具小人还有自己的攻击力，攻击力可以是任意非负整数，且两种不同的玩具小人的攻击力可以相同。我们把第\(i\)种玩具小人的血量和攻击力表示成\(a_i\)和\(b_i\)。
为了让玩具小人们进行战斗，小南打算把一些小人选出来，编成队伍。一个队伍可以表示成一个由玩具小人组成的序列：\((p_1,p_2,\ldots,p_l)\)，其中\(p_i\)表示队伍中第\(i\)个玩具小人的种类，\(l\)为队伍的长度。对于不同的\(i\)，\(p_i\)可以相同。两个队伍被认为相同，当且仅当长度相同，且每个位置的玩具小人种类都分别相同。
一个队伍也有血量和攻击力两个属性，记为\(a_t,b_t\)。队伍的血量就是每个玩具小人的血量之和，而队伍攻击力可能会由于队伍内部产生矛盾而减小，对于长度为\(l\)的队伍，队伍的攻击力为每个玩具小人的攻击力之乘积除以\(l\)的阶乘。同时，当\(l\)大于等于某个常数\(c\)时，攻击力会有一个额外的加成：乘以\((1+\frac{l!}{(l−c)!})\)。也就是说：
\[a_t=\sum_{i=1}^la_{p_i}\\
b_t=\begin{cases}
\frac{1}{l!}\sum_{i=1}^lb_{p_i}&,l<c\\
(\frac{1}{l!}+\frac{1}{(l-c)!})\sum_{i=1}^lb_{p_i}&,l\geq c
\end{cases}
\]
b_t=\begin{cases}
\frac{1}{l!}\sum_{i=1}^lb_{p_i}&,l<c\\
(\frac{1}{l!}+\frac{1}{(l-c)!})\sum_{i=1}^lb_{p_i}&,l\geq c
\end{cases}
\]
然而，小南的玩具小人们对小南的*感到愤怒，准备联合起来发起*运动。为了旗帜鲜明地反对动乱，小南必须了解清楚玩具小人们的战斗力。不幸的是，由于玩具小人数量过多，小南已经忘记每种玩具小人的战斗力具体是多少了。现在，小南掌握的情报只有对于每个\(1\)和\(n\)之间的整数\(i\)，所有血量等于\(i\)的不同队伍的战斗力之和对\(998244353\)取模的值是多少（\(s_i\)）。他希望你根据已有的情报，还原出每种玩具小人的战斗力对\(998244353\)取模的结果 。如果镇压成功了，小南会请你到北京去做一回总书记（当然是北京玩具协会的总书记）。
\(n\leq 60000,0\leq c\leq n\)
题解
设\(F=\sum_{i\geq 1}b_i,S=\sum_{i\geq 0}s_i\)，如果\(c=0\)，那么\(s_0=2\)
\[\begin{align}
\sum_{i\geq 0}\frac{F^i}{i!}+\sum_{i\geq 0}\frac{F^i}{i!}&=S\\
2e^F&=S\\
F=\ln\frac{S}{2}
\end{align}
\]
\sum_{i\geq 0}\frac{F^i}{i!}+\sum_{i\geq 0}\frac{F^i}{i!}&=S\\
2e^F&=S\\
F=\ln\frac{S}{2}
\end{align}
\]
否则\(s_0=1\)
\[\begin{align}
\sum_{i\geq 1}\frac{F^i}{i!}+\sum_{i\geq c}\frac{F^i}{(i-c)!}&=S-1\\
\sum_{i\geq 1}\frac{F^i}{i!}+F^c\sum_{i\geq0}\frac{F^i}{i!}&=S-1\\
(F^c+1)e^F&=S
\end{align}
\]
\sum_{i\geq 1}\frac{F^i}{i!}+\sum_{i\geq c}\frac{F^i}{(i-c)!}&=S-1\\
\sum_{i\geq 1}\frac{F^i}{i!}+F^c\sum_{i\geq0}\frac{F^i}{i!}&=S-1\\
(F^c+1)e^F&=S
\end{align}
\]
然后就是牛顿迭代解方程。我们需要满足
\[g(F)=(F^c+1)e^F-S=0
\]
\]
的\(F\)。设当前求出了
\[g(F_0)\equiv0\pmod {x^{\frac{n}{2}}}
\]
\]
的\(F_0\)，现在我们要求\(F\)满足
\[g(F)\equiv 0\pmod {x^n}
\]
\]
考虑在\(F_0\)出对\(g\)泰勒展开
\[g(F)=g(F_0)+g'(F_0)(F-F_0)+\frac{g''(F_0)}{2}{(F-F_0)}^2+\cdots
\]
\]
后面的项都是\(0\)，因为\(F-F_0\)的最小非零项的次数至少是\(\frac{n}{2}\)，所以后面的部分在模\(x^n\)意义下一定会被消掉。
式子就变成了
\[\begin{align}
g(F)&\equiv g(F_0)+g'(F_0)(F-F_0)\pmod {x^n}\\
F&\equiv F_0-\frac{g(F_0)}{g'(F_0)}\pmod {x^n}\\
F&\equiv F_0-\frac{({F_0}^c+1)e^{F_0}-S}{(c{F_0}^{c-1}+{F_0}^c+1)e^{F_0}}\pmod {x^n}
\end{align}
\]
g(F)&\equiv g(F_0)+g'(F_0)(F-F_0)\pmod {x^n}\\
F&\equiv F_0-\frac{g(F_0)}{g'(F_0)}\pmod {x^n}\\
F&\equiv F_0-\frac{({F_0}^c+1)e^{F_0}-S}{(c{F_0}^{c-1}+{F_0}^c+1)e^{F_0}}\pmod {x^n}
\end{align}
\]
套各种多项式算法可以做到
\[T(n)=T(\frac{n}{2})+O(n\log n)=O(n\log n)
\]
\]
常数巨大。
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
if(a>b)
swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];
sprintf(str,"%s.in",s);
freopen(str,"r",stdin);
sprintf(str,"%s.out",s);
freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
int s=0,c;
while((c=getchar())<'0'||c>'9');
do
{
s=s*10+c-'0';
}
while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
return s;
}
void put(int x)
{
if(!x)
{
putchar('0');
return;
}
static int c[20];
int t=0;
while(x)
{
c[++t]=x%10;
x/=10;
}
while(t)
putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
if(b<a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
if(b>a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
const ll p=998244353;
const ll g=3;
const int maxn=65536;
ll fp(ll a,ll b)
{
ll s=1;
for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
if(b&1)
s=s*a%p;
return s;
}
ll inv[200000];
namespace ntt
{
int rev[200000];
int m;
void ntt(ll *a,int n,int t)
{
ll u,v,w,wn;
int i,j,k;
if(n!=m)
{
m=n;
rev[0]=0;
for(i=1;i<n;i++)
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
}
for(i=0;i<n;i++)
if(rev[i]<i)
swap(a[i],a[rev[i]]);
for(i=2;i<=n;i<<=1)
{
wn=fp(g,(p-1)/i);
if(t==-1)
wn=fp(wn,p-2);
for(j=0;j<n;j+=i)
{
w=1;
for(k=j;k<j+i/2;k++)
{
u=a[k];
v=a[k+i/2]*w%p;
a[k]=(u+v)%p;
a[k+i/2]=(u-v)%p;
w=w*wn%p;
}
}
}
if(t==-1)
{
ll inv=fp(n,p-2);
for(i=0;i<n;i++)
a[i]=a[i]*inv%p;
}
}
void getinv(ll *a,ll *b,int n)
{
if(n==1)
{
b[0]=fp(a[0],p-2);
return;
}
getinv(a,b,n>>1);
static ll a1[200000],a2[200000];
int i;
for(i=0;i<n;i++)
a1[i]=a[i];
for(;i<n<<1;i++)
a1[i]=0;
for(i=0;i<n>>1;i++)
a2[i]=b[i];
for(;i<n<<1;i++)
a2[i]=0;
ntt(a1,n<<1,1);
ntt(a2,n<<1,1);
for(i=0;i<n<<1;i++)
a1[i]=(2*a2[i]-a1[i]*a2[i]%p*a2[i])%p;
ntt(a1,n<<1,-1);
for(i=0;i<n;i++)
b[i]=a1[i];
}
void getln(ll *a,ll *b,int n)
{
static ll a1[200000],a2[200000];
int i;
for(i=1;i<n;i++)
a1[i-1]=a[i]*i%p;
a1[n-1]=0;
getinv(a,a2,n);
for(i=n;i<n<<1;i++)
a1[i]=a2[i]=0;
ntt(a1,n<<1,1);
ntt(a2,n<<1,1);
for(i=0;i<n<<1;i++)
a1[i]=a1[i]*a2[i]%p;
ntt(a1,n<<1,-1);
b[0]=0;
for(i=1;i<n;i++)
b[i]=a1[i-1]*inv[i]%p;
}
void getexp(ll *a,ll *b,int n)
{
if(n==1)
{
b[0]=1;
return;
}
getexp(a,b,n>>1);
static ll a1[200000],a2[200000];
int i;
for(i=0;i<n>>1;i++)
a1[i]=b[i];
for(;i<n<<1;i++)
a1[i]=0;
for(i=n>>1;i<n;i++)
b[i]=0;
getln(b,a2,n);
for(i=0;i<n;i++)
a2[i]=-a2[i];
for(i=n;i<n<<1;i++)
a2[i]=0;
a2[0]++;
for(i=0;i<n;i++)
a2[i]=(a2[i]+a[i])%p;
ntt(a1,n<<1,1);
ntt(a2,n<<1,1);
for(i=0;i<n<<1;i++)
a1[i]=a1[i]*a2[i]%p;
ntt(a1,n<<1,-1);
for(i=0;i<n;i++)
b[i]=a1[i];
}
void getpow(ll *a,ll *b,int n,ll k)
{
int d=0;
while(d<n&&!a[d])
d++;
int i;
if(d>=n)
{
for(i=0;i<n;i++)
b[i]=0;
if(!k)
b[0]=1;
return;
}
static ll a1[200000],a2[200000];
ll c=a[d];
ll e=fp(c,p-2);
for(i=0;i<n;i++)
if(i+d<n)
a1[i]=a[i+d]*e%p;
else
a1[i]=0;
getln(a1,a2,n);
for(i=0;i<n;i++)
a2[i]=a2[i]*k%p;
getexp(a2,a1,n);
for(i=0;i<n&&i<d*k;i++)
b[i]=0;
c=fp(c,k);
for(i=d*k;i<n;i++)
b[i]=a1[i-d*k]*c%p;
}
void mul(ll *a,ll *b,ll *c,int n)
{
int i;
static ll a1[200000],a2[200000];
for(i=0;i<n;i++)
{
a1[i]=a[i];
a2[i]=b[i];
}
for(;i<n<<1;i++)
a1[i]=a2[i]=0;
ntt(a1,n<<1,1);
ntt(a2,n<<1,1);
for(i=0;i<n<<1;i++)
a1[i]=a1[i]*a2[i]%p;
ntt(a1,n<<1,-1);
for(i=0;i<n;i++)
c[i]=a1[i];
}
}
using namespace ntt;
ll a[200000],b[200000];
void init()
{
int i;
inv[0]=inv[1]=1;
for(i=2;i<=maxn;i++)
inv[i]=-p/i*inv[p%i]%p;
}
int c;
void gao(ll *a,ll *b,int n)
{
if(n==1)
{
b[0]=0;
return;
}
gao(a,b,n>>1);
int i;
for(i=n>>1;i<n;i++)
b[i]=0;
static ll a1[200000],a2[200000],a3[200000],a4[200000],a5[200000],a6[200000],a7[200000];
//a1=F^(c-1)
getpow(b,a1,n,c-1);
//a2=F^c=a1F
mul(a1,b,a2,n);
//a3=e^F
getexp(b,a3,n);
for(i=0;i<n;i++)
a4[i]=a2[i];
a4[0]++;
mul(a4,a3,a5,n);
for(i=0;i<n;i++)
a5[i]=(a5[i]-a[i])%p;
for(i=0;i<n;i++)
a6[i]=(a2[i]+c*a1[i])%p;
a6[0]++;
mul(a6,a3,a7,n);
getinv(a7,a6,n);
mul(a6,a5,a7,n);
for(i=0;i<n;i++)
b[i]=(b[i]-a7[i])%p;
}
void gao2(ll *a,ll *b,int n)
{
int i;
for(i=0;i<n;i++)
a[i]=a[i]*inv[2]%p;
getln(a,b,n);
}
int n;
int main()
{
init();
open("c");
scanf("%d%d",&n,&c);
int m=1;
while(m<=n)
m<<=1;
int i;
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
for(i=n+1;i<m;i++)
a[i]=0;
if(!c)
{
a[0]=2;
gao2(a,b,m);
}
else
{
a[0]=1;
gao(a,b,m);
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
b[i]=(b[i]+p)%p;
printf("%lld\n",b[i]);
}
return 0;
}