C++迪杰斯特拉算法求最短路径

时间:2022-12-06 00:56:49

一:算法历史
  迪杰斯特拉算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的,因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法,解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。
二:算法思想
  按路径长度递增次序产生算法:
  把顶点集合V分成两组:
  (1)S:已求出的顶点的集合(初始时只含有源点V0)
  (2)V-S=T:尚未确定的顶点集合
  将T中顶点按递增的次序加入到S中,保证:
  (1)从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度
  (2)每个顶点对应一个距离值
  S中顶点:从V0到此顶点的长度
  T中顶点:从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度
  依据:可以证明V0到T中顶点Vk的,或是从V0到Vk的直接路径的权值;或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和
三:应用举例
  (1)题目:编写一个校园导游程序,为来访的客人提供各种信息查询服务。
    主要功能:1.设计学校的校园平面图,所含景点不少于10个:顶点表示景点,边表示路径等;
         2.为客人提供图中任意景点相关信息的查询;
         3.为客人提供图中任意景点的问路查询,即查询人以景点间的一条最短路径。
      要求:1.设计一个主界面;
              2.设计功能菜单,供用户选择
              3.有一定的实用性。
  (2)设计思路:
    1、该题主要有算法思路以及程序的逻辑思路,首先从逻辑思路讲,进入程序,首先设计一个主菜单,选项有景点信息查询,最短路径查询以及显示景点的平面视图三个子菜单,然后根据用户的输入选择的子菜单前的编号,分进入不同的子菜单;该功能是由if….else if…. 语句实现。在景点信息查询和最短路径查询子菜单下还有二级子菜 单,都是列 出所有景点并在前面编号,查询景点信息时,输入景点前面的编号即可,查询最短路径时,先输入起点的编号,再输入终点的编号。而显示景点视图则调用景点平面图函数即可显 示。
    2、算法思路主要是迪杰斯特拉算法的思路,利用迪杰斯特拉算法求最短路径。
    3、先定义好图的储存结构,本题采用邻接矩阵的方式来表示图,并在主函数中初始化该图;
    4、定义三个全局一维数组,一个bool类型数组S[]用来记录从v0到vi是否已经确定了最短路径,是则记S[i]=true,否记S[i]= flase;一个int 类型数组Path[]用来记录从v0到vi的当前最短路径上的vi的直接前驱顶点编号,若v 到vi之间有边则记Path[i] = v的编号,否则记Path[i] = -1;最后一个数组D[]用来记录从v0到vi之间的最短路径长度,存在则记v0到vi之间边的权值或者权值和,否则记为MAX
    5、定义一个求最短路径的函数,传入的参数为图和起点,首先进行初始化工作,初始化S[]数组全为false,D[]数组初始化为起点到各个顶点的权值,Path[]数组初始化为起点是否与各顶点有边,有则记v0否则记-1;
    6、然后进行n-1次for循环,找出vo到其余n-1个顶点之间的最短路径,比较当前D[]数组中最小值,找到最小值的编号v,该编号就是从v0出发到所有顶点中距离最短的顶点编号,然后把S[v]的值置为true。说明从v0出发到顶点v已经找到最短路径;
    7、接着就要更新D[]数组,因为D[]数组是记录最短路径的,现在已经找到了一个顶点的最短路径,已该顶点v为中间点,判断从该顶点v出发到剩下的顶点的路径长度加上该点到v0的路径长度是否小于直接从v0出发到其余顶点的路径长度,如果小于,则更新D[i]为以该顶点v为中间点求得的路径长度。更新Path[i] = v;即i的前驱不再是v0而是v;
    8、循环(6)(7)两步n-1次即可得到D[]数组,输出D[]数组既是v0到所有顶点的最短路径长度;

  (3)源代码:

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<string>
using namespace std;
/**
*作者:Dmego
*时间:2016-12-12
*/
#define MAX 1000000 //表示极大值∞
#define max 10
bool S[max]; //记录从源点V0到终点Vi是否已经确定为最短路径,确定了记true,否则记false
int Path[max]; //记录从源点V0到终点Vi的当前最短路径上终点Vi的直接前驱顶点序号,若V0到Vi之间有边前驱为V0否则为-1
int D[max]; //记录源点到终点之间最短路径的长度,存在记V0到Vi的边的权值,否则记为MAX
typedef struct
{
string vexs[max]; //顶点表
int arcs[max][max]; //邻接矩阵
int vexnum, arcnum; //图当前点数和边数 }AMGraph;
//利用迪杰斯特拉算法求最短路径
void ShortestPath_DIJ(AMGraph &G, int v0)
{//使用迪杰斯特拉算法求有向网G中的V0 定点到其余顶点的最短路径
int n = G.vexnum;//顶点数
for (int v = ; v < n; v++)//n个顶点依次初始化
{
S[v] = false;//S初始化为空集
D[v] = G.arcs[v0][v];//将v0到各个终点的最短路径长度初始化为边上的权值
if (D[v] < MAX)
Path[v] = v0;//如果v0和v之间有边,则将v的前驱初始化为v0
else
Path[v] = -;//如果v0和v之间无边,则将v的前驱初始化为-1
}
S[v0] = true; //将v0加入s
D[v0] = ;//源点到源点的权值为0
//---------初始化结束,开始主循环,每次求得v0到某个顶点的最短路径,将v加到S数组
for (int i = ; i < n; i++)//依次对其余n-1个顶点进行计算
{
int min = MAX;
int v = v0;
for (int w = ; w < n; w++)
{
if (!S[w] && D[w] < min)
{//选择一条当前最短路径,终点为v
v = w;
min = D[w];
}
S[v] = true;//将v加到s集合中
for (int w = ; w < n; w++)
{//更新从v0出发到集合V-S上所有顶点的最短路径长度
if (!S[w] && (D[v] + G.arcs[v][w] < D[w]))
{
D[w] = D[v] + G.arcs[v][w];//更新D[w]
Path[w] = v;//更改w的前驱为v
}
}
}
}
}
//背景函数
void backGround()
{
cout << "|*****************************************************************|" << endl;
cout << " |------------------------铁大旅游景点图-----------------|" << endl;
cout << "|*****************************************************************|" << endl;
cout << "| ⑦ 单位:米 |" << endl;
cout << "| 九教 |" << endl;
cout << "| ◎ ⑧ |" << endl;
cout << "| ↗↖ 九栋 |" << endl;
cout << "| ③ 200╱ ╲ ◎ |" << endl;
cout << "| 西 ↙ ╲ 150 ↗ ↖ |" << endl;
cout << "| 操 ◎ ╲ ① 160 ╱ ╲ 200 |" << endl;
cout << "| 场 ↖150 ╲ 信息 ⑥ ╱ ╲ |" << endl;
cout << "| ④ ↘ 140 ↘ 学院 200 基教 ↙ 230 ↘ |" << endl;
cout << "| 体育馆 ◎-------------→◎←--------------→◎←--------------→◎ |" << endl;
cout << "| ↖ ↗ ↖ ↗ ↖ ↗② |" << endl;
cout << "| 100 ╲ ╱ ╲ 125 ╱ ╲ 150 ╱ 综 |" << endl;
cout << "| ↘ ↙ 100 ╲ ╱135 ╲ ╱145 餐 |" << endl;
cout << "| ◎ ↘ ↙ ↘ ↙ |" << endl;
cout << "| ⑨ 沁园 ◎ ◎ |" << endl;
cout << "| ⑩ 翠园 ⑤ 春晖楼 |" << endl;
cout << "| |" << endl;
cout << "|*****************************************************************|" << endl; }
//主菜单
void menu()
{
cout << "|*****************************************************************|" << endl;
cout << "|----------------------------铁大导游小程序-----------------------|" << endl;
cout << " |*********************************************************|" << endl;
cout << " |--------------------1-景点信息查询--------------|" << endl;
cout << " |--------------------2-最短路径查询--------------|" << endl;
cout << " |--------------------3-显示景点视图--------------|" << endl;
cout << " |-------------------4-退出导游程序------ --------|" << endl;
cout << "|*****************************************************************|" << endl;
cout << ">>>请选择:";
}
//景点信息查询二级菜单
void jmenu()
{
cout << "|*****************************************************************|" << endl;
cout << " |-------------------------景点信息查询------------------------|" << endl;
cout << " |***********************************************************|" << endl;
cout << " |----------------------1-信息学院介绍-------------------| " << endl;
cout << " |----------------------2-综合餐厅介绍-------------------| " << endl;
cout << " |----------------------3-西操场介绍---------------------| " << endl;
cout << " |----------------------4-体育馆介绍---------------------| " << endl;
cout << " |----------------------5-春晖楼介绍---------------------| " << endl;
cout << " |----------------------6-基教介绍-----------------------| " << endl;
cout << " |----------------------7-九教介绍-----------------------| " << endl;
cout << " |----------------------8-九栋介绍-----------------------| " << endl;
cout << " |----------------------9-沁园介绍-----------------------| " << endl;
cout << " |---------------------10-翠园介绍-----------------------| " << endl;
cout << "|*****************************************************************|" << endl;
cout << ">>>请要查询的景点编号:";
}
//最短路径查询二级菜单
void pmenu()
{
cout << "|*****************************************************************|" << endl;
cout << " |-------------------------最短路径查询------------------------|" << endl;
cout << " |***********************************************************|" << endl;
cout << " |---------------------1-信息学院-------------------| " << endl;
cout << " | --------------------2-综合餐厅-------------------| " << endl;
cout << " |---------------------3-西操场---------------------| " << endl;
cout << " |---------------------4-体育馆---------------------| " << endl;
cout << " |---------------------5-春晖楼---------------------| " << endl;
cout << " |---------------------6-基教-----------------------| " << endl;
cout << " |---------------------7-九教-----------------------| " << endl;
cout << " |---------------------8-九栋-----------------------| " << endl;
cout << " |---------------------9-沁园-----------------------| " << endl;
cout << " |--------------------10-翠园-----------------------| " << endl;
cout << "|*****************************************************************|" << endl;
cout << ">>>请依次输入起点编号和终点编号:";
}
void main()
{
//初始化操作
AMGraph amg = { { "信息学院","综合餐厅","西操场","体育馆","春晖楼",
"基教", "九教", "九栋", "沁园", "翠园" },
//-1代表两边不相连,权值无限大
//邻接矩阵 /* 信 综 西 体 春 基 教 栋 沁 翠*/
{{MAX,MAX,MAX,,MAX,,,MAX,, },
{MAX,MAX,MAX,MAX,,,MAX,,MAX,MAX },
{MAX,MAX,MAX,,MAX,MAX,,MAX,MAX,MAX },
{,MAX,,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,,MAX },
{MAX,,MAX,MAX,MAX,,MAX,MAX,MAX,MAX },
{,,MAX,MAX,,MAX,MAX,,MAX, },
{,MAX,,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX },
{MAX,,MAX,MAX,MAX,,MAX,MAX,MAX,MAX },
{,MAX,MAX,,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX },
{,MAX,MAX,MAX,MAX,,MAX,MAX,MAX,MAX }
},,};
int f, ff;
int start, end;
while (true)
{
cout << endl;
menu();
cin >> f;
if (f == )
{
jmenu();
cin >> ff;
       //景点信息从文件中读取
ifstream outfile("schooltravel.txt", ios :: out | ios :: binary);
if (!outfile)
{
cerr << "读取景点介绍文件失败!" << endl;
exit(1);
}
string str[max];
int i = ;
while (getline(outfile, str[i++]));
cout << "|-----------------------景点介绍-------------------| " << endl;
if (ff == )
cout << str[] << endl;
else if (ff == )
cout << str[] << endl;
else if (ff == )
cout << str[] << endl;
else if(ff == )
cout << str[] << endl;
else if (ff == )
cout << str[] << endl;
else if (ff == )
cout << str[] << endl;
else if (ff == )
cout << str[] << endl;
else if (ff == )
cout << str[] << endl;
else if (ff == )
cout << str[] << endl;
else if (ff == )
cout << str[] << endl;
cout << "|-------------------------------------------------|" << endl;
}
else if (f == )
{
pmenu();
cin >> start >> end;
ShortestPath_DIJ(amg, start - );
int temp = end-;
int temp1, temp2;
int flag[max], m = ;
cout << "从" << amg.vexs[start - ] << "到" << amg.vexs[end - ] << "最短路径为:" ;
while (temp!= -)
{
flag[m++] = temp;
temp1 = temp ;
temp2 = Path[temp1];
temp = temp2;
}
for (int i = m-; i >= ; i--)
{
cout <<amg.vexs[flag[i]] << "->";
}
cout << endl;
cout << "最短路径值为:" << D[end - ] <<"米"<< endl;
}
else if (f == )
{
backGround();
}
else if (f == )
{
cout << ">>>退出成功!" << endl;
exit();
}
}
}

  (4)运行截图:

                                 C++迪杰斯特拉算法求最短路径

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