复方阵的酉相似-ibm_知识管理白皮书

时间:2021-06-15 06:26:51
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更新时间:2021-06-15 06:26:51
线性代数 李炯生 带目录无背景 §8.2 复方阵的酉相似 Euclid空间的线性函数概念可以推广到酉空间. 定义 8.2.1 设 f (α)是酉空间 V 上的复值函数.如果对任意 α, α ∈ V 和复数 λ, λ, f (λα + λα) = λ f (α) + λ f (α), 则 f (α)称为 V 的线性函数. n维酉空间 V 的所有线性函数的集合记为 V∗.集合 V∗在通常函数的加法以 及复数与函数的乘法下成为一个复线性空间,它称为酉空间 V 的对偶空间. 设 (α, β)是 n维酉空间 V 的内积.对给定 β ∈ V, fβ(α) = (α, β) 是 V 的一个线性函数.定义映射 σ ∶V → V∗如下:设 β ∈ V,则令 σ(β) = fβ. 可以验证,映射 σ是酉空间 V 到线性空间 V∗的(线性空间)同构映射.因此 V 与它的对偶空间 V∗同构. 利用映射 σ,可以证明,如果 {β, β, . . . , βn}是 V 的基,则 { fβ , fβ , . . . , fβn}是 V∗的一组基,它称为 {β, β, . . . , βn}的对偶基. 设A 是 n维酉空间V的线性变换,(α, β)是V的内积.可以证明,对给定的向 量 β ∈ V,存在唯一的向量 β̃ ∈ V,使得 (A (α), β) = (α, β̃). 定义映射 Ã ∶V → V 如下:设 β ∈ V,则令A ∗(β) = β̃. 可以验证,映射A ∗是 V的一个线性变换,它称为线性变换A 的伴随变换.伴 随变换具有如下性质: (1) (A +B)∗ = A ∗ +B∗; (2) (λA )∗ = λA ∗; (3) (A B)∗ =B∗A ∗; (4) (A ∗)∗ = A; (5) 设 V 的线性变换A 在 V 的标准正交基 {α, α, . . . , αn}下的方阵为 A,则 它的伴随变换A ∗在同一组基下的方阵为A ∗,即方阵 A的共轭转置; (6) n维酉空间 V 的线性变换A 的不变子空间W的正交补W⊥是伴随变换 A ∗的不变子空间. 现在考虑酉空间 V 的一个线性变换在不同的标准正交基下的方阵的表示的 关系.先引进 定义 8.2.2 设 A与 B是 n阶复方阵.如果存在 n阶酉方阵U,使得 B =U∗AU, 则方阵 A与 B称为酉相似的.

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