1. z 变换
单位脉冲响应为 \(h[n]\) 的离散时间线性时不变系统对复指数输入 \(z^n\) 的响应 \(y[n]\) 为
\[ \tag{1} y[n] = H(z) z^{n}\]
式中 \(H(z)\) 是一个复常数，为
\[ \tag 2 H[z] =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}h[n]z^{-n}\]
若 \(z=e^{j\omega}\)，这里 \(\omega\) 为实数（即，\(|z|=1\)），则（2）式的求和式就是 \(h[n]\) 的离散时间傅里叶变换。在更为一般的情况下，当 \(|z|\) 不限制为 1 的时候，（2）式就称为 \(h[n]\) 的 \(z\) 变换。
一个离散时间信号 \(x[n]\) 的 \(z\) 变换定义为
\[ \tag 3 \boxed{X(z) \overset{\triangle}{=}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}}\]
若将复变量 \(z\) 表示成极坐标形式
\[ \tag{4} z = r e^{j\omega}\]
用 \(r\) 表示 \(z\) 的模，而用 \(\omega\) 表示它的相角。利用 \(r\) 和 \(\omega\)，（3）式就变为
\[ \tag 5 X(r e^{j\omega}) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n](r e^{j\omega})^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\{x[n]r^{-n}\} e^{-j\omega n}\]
由此可见，\(X(r e^{j\omega})\) 就是序列 \(x[n]\) 乘以实指数 \(r^{-n}\) 后的傅里叶变换，即
\[ \tag 6 X(r e^{j\omega}) =\displaystyle \mathcal F\{x[n]r^{-n}\} \]
在 \(z\) 变换中当变换变量 \(z\) 的模为 1 时，即 \(z=e^{j\omega}\)，\(z\) 变换就演变为傅里叶变换。于是，傅里叶变换就成为在复数 \(z\) 平面中，半径为 1 的圆上的 \(z\) 变换。在 \(z\) 平面上，这个圆称为单位圆。
一般来说，对于某一序列的 \(z\) 变换，存在着某一个 \(z\) 值的范围，对该范围内的 \(z\)，\(X(z)\) 收敛，这样一些值的范围就称为收敛域（ROC）。如果 ROC 包括单位圆，则傅里叶变换也收敛。
例 1
例 2
2. \(z\) 变换的收敛域
性质 1：\(X(z)\) 的 \(ROC\) 是在 \(z\) 平面上以原点为中心的圆环。
性质 2：\(ROC\) 内不包含任何极点。
性质 3：如果 \(x[n]\) 是有限长序列，那么 \(ROC\) 就是整个 \(z\) 平面，可能除去 \(z=0\) 和/或 \(z=\infty\)。
性质 4：如果 \(x[n]\) 是一个右边序列，并且 \(|z|=r_0\) 的圆位于 \(ROC\) 内，那么 \(|z|>r_0\) 的全部有限 \(z\) 值都一定在这个 \(ROC\) 内。
性质 5：如果 \(x[n]\) 是一个左边序列，并且 \(|z|=r_0\) 的圆位于 \(ROC\) 内，那么 $ 0< |z| < r_0$ 的全部 \(z\) 值都一定在这个 \(ROC\) 内。
性质 6：如果 \(x[n]\) 是双边序列，并且 \(|z|=r_0\) 的圆位于 \(ROC\) 内，那么该 \(ROC\) 一定是由包括 \(|z|=r_0\) 的圆环所组成。
性质 7：如果 \(x[n]\) 的 \(z\) 变换 \(X(z)\) 是有理的，那么它的 \(ROC\) 就被极点所界定，或者延伸到无限远。
性质 8：如果 \(x[n]\) 的 \(z\) 变换 \(X(z)\) 是有理的，而且若 \(x[n]\) 是右边序列，那么，\(ROC\) 就位于 \(z\) 平面内最外层极点的外边；也就是半径等于 \(X(z)\) 极点中最大模值的圆的外边。而且，若 \(x[n]\) 是因果序列（即 \(x[n]\) 为 \(n<0\) 等于 \(0\) 的右边序列），那么，\(ROC\) 也包括 \(z=\infty\)。
性质 9：如果 \(x[n]\) 的 \(z\) 变换 \(X(z)\) 是有理的，而且若 \(x[n]\) 是左边序列，那么，\(ROC\) 就位于 \(z\) 平面内最里层的非零极点的里边；也就是半径等于 \(X(z)\) 中除去 \(z=0\) 的极点中最小模值的圆的里边，并且向内延伸到可能包括 \(z=0\)。特别地，若 \(x[n]\) 是反因果序列（即 \(x[n]\) 为 \(n>0\) 等于 \(0\) 的左边序列），那么，\(ROC\) 也包括 \(z=0\)。
3. \(z\) 反变换
对（6）式两边进行傅里叶反变换可得
\[ \tag 7 \displaystyle \mathcal F^{-1}X(r e^{j\omega}) =x[n]r^{-n} \]
因此
\[ \tag 8 x[n] = r^{n} \displaystyle \mathcal F^{-1}X(r e^{j\omega}) = r^{n} \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi}X(r e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega \]
将 \(r^n\) 的指数因子移进积分号内，则有
\[ \tag 9 x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi}X(r e^{j\omega}) (re^{j\omega})^ nd\omega \]
也就是说，将 \(z\) 变换沿着在 \(ROC\) 内 \(z=re^{j\omega}\)，\(r\) 固定而 \(\omega\) 在一个 \(2\pi\) 区间内变化的闭合围线上求值，就能将 \(x[n]\) 恢复出来。
现在将积分变量从 \(\omega\) 改为 \(z\)。由于 \(z=re^{j\omega}\)，\(r\) 固定，\(dz=jre^{j\omega}d\omega=jzd\omega\)，或者 \(d\omega=(1/j)z^{-1}dz\)。这样，（9）式中在 \(\omega\) 的 \(2\pi\) 区间的积分，利用 \(z\) 以后，就对应于变量 \(z\) 在环绕 \(|z|=r\) 的圆上一周的积分。
\[ \tag{10} x[n] = \frac{1}{2\pi j} \oint X(z) z^ {n-1}dz \]
式中，\(\oint\) 记为在半径为 \(r\)，以原点为中心的封闭圆上沿逆时针方向环绕一周的积分。\(r\) 的值可选为使 \(X(z)\) 收敛的任何值，也就是使 \(|z|=r\) 的积分围线位于 \(ROC\) 的任何值。
- 确定 \(z\) 反变换的一种方法就是先进行部分分式展开，然后逐项求其反变换。
这种方法依赖于将 \(X(z)\) 展开成如下形式的部分分式：
\[ \tag{11} X(z) = \sum_{i=1}^{m} \frac{A_i}{1-a_iz^{-1}}\]
若 \(X(z)\) 的 \(ROC\) 是位于极点 \(z=a_i\) 的外边，那么其对应项的反变换就是 \(A_i a_i^n u[n]\)；另一方面，若 \(X(z)\) 的 \(ROC\) 是位于极点 \(z=a_i\) 的里面，那么对应项的反变换就是 \(-A_i a_i^n u[-n-1]\)。
- 确定 \(z\) 反变换的另一种方法是建立在 \(X(z)\) 的幂级数展开的基础之上。由 $ X(z) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}$ 可知，实际上 \(z\) 变换就是涉及 \(z\) 的正幂和负幂的一个幂级数，这个幂级数的系数就是序列值 \(x[n]\)。
用幂级数展开法来求 \(z\) 反变换对非有理的 \(z\) 变换式特别有用。
4. \(z\) 变换的性质
4.1. 线性
若
\[ x_1[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_1(z) \quad ROC=R_1\]
和
\[ x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_2(z) \quad ROC=R_2\]
则
\[\tag{12} \boxed{ ax_1[n]+bx_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} aX_1(z)+bX_2(z) \quad ROC \space包括 \space R_1 \cap R_2}\]
4.2. 时移性质
若
\[ x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R\]
则
\[\tag{13} \boxed{ x[n-n_0] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} z^{-n_0}X(z) \quad ROC=R \space 原点或无限远点可能加上或除掉}\]
4.3. \(z\) 域尺度变换
若
\[ x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R\]
则
\[\tag{14} \boxed{ z_0^nx[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(\frac{z}{z_0}) \quad ROC=|z_0|R }\]
这就是说，若 \(z\) 是在 \(X(z)\) 的 \(ROC\) 内的一点，那么点 \(|z_0|z\) 就在 \(X(z/z_0)\) 的 \(ROC\) 内。
4.4. 时间反转
若
\[ x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R\]
则
\[\tag{15} \boxed{ x[-n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(\frac{1}{z}) \quad ROC=\frac{1}{R} }\]
这就是说，若 \(z_0\) 是在 \(x[n]\) 的 \(z\) 变换 \(ROC\) 内，那么点 \(1/z_0\) 就在 \(x[-n]\) 的 \(z\) 变换 \(ROC\) 内。
4.5. 时间扩展
若令 \(k\) 是一个正整数，并且定义
\[\tag{16} x_{(k)}[n] = \begin{cases}
x[n/k] &\text 当\space n \space为\space k\space的整数倍 \\
0, &\text 当\space n \space不为\space k\space的整数倍
\end{cases}\]
若
\[ x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R\]
则
\[\tag{17} \boxed{ x_{(k)}[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z^k) \quad ROC=R^{1/k} }\]
这就是说，若 \(z\) 是在 \(X(z)\) 的 \(ROC\) 内，那么点 \(z^{1/k}\) 就在 \(X(z^k)\) 的 \(ROC\) 内。
4.6. 共轭
若
\[ x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R\]
则
\[\tag{18} \boxed{ x^*[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X^*(z^*) \quad ROC=R }\]
4.7. 卷积性质
若
\[ x_1[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_1(z) \quad ROC=R_1\]
和
\[ x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_2(z) \quad ROC=R_2\]
则
\[\tag{19} \boxed{ x_1[n] * x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_1(z)X_2(z) \quad ROC \space包括 \space R_1 \cap R_2}\]
4.8. \(z\) 域微分
若
\[ x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R\]
则
\[\tag{20} \boxed{ nx[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} -z\frac{dX(z)}{dz} \quad ROC=R }\]
4.9. 初值定理
若 \(n <0, x[n]=0\)，则
\[\tag{21} x[0] = \lim_{z\to \infty}X(z)\]
4.10. 终值定理
若 \(n <0, x[n]=0\)，其 \(z\) 变换的极点，除可以有一个一阶极点在 \(z=1\) 上，其它极点均在单位圆内，则
\[\tag{21} \lim_{n\to \infty}x[n] = \lim_{z\to 1}(z-1)X(z)\]
4.11. 性质小结
4.12. 几个常用的 \(z\) 变换对
5. 利用 \(z\) 变换分析与表征线性时不变系统
在离散时间 \(LTI\) 系统的分析和表示中，\(z\) 变换有其特别重要的作用，由卷积性质可得
\[\tag{23} Y(z) = H(z) X(z)\]
式中 \(X(z)、Y(z) 、H(z)\) 分别是系统输入、输出和单位脉冲响应的\(z\) 变换 。\(H(z)\) 称为系统的系统函数或转移函数。
5.1. 因果性
一个因果 \(LTI\) 系统其单位脉冲响应 \(h[n]\)是对于 \(n<0，h[n] = 0\)，因此是一个右边序列。由性质 4 知道 \(H(z)\) 的 \(ROC\) 是位于 \(z\) 平面内某一个圆的外边。由性质 8 可知，对于一个因果序列，这个幂级数中，
\[\tag{24} H(z) =\sum_{n=0}^{\infty}h[n]z^{-n}\]
不包含任何 \(z\) 的正幂次项，因此 \(ROC\) 包括无限远点。综上所述，就得出如下属性：
一个离散时间 \(LTI\) 系统当且仅当它的系统函数的 \(ROC\) 是在某一个圆的外边，且包括无限远点，该系统就是因果的。
如果 \(H(z)\) 是有理的，那么该系统要是因果的，其 \(ROC\) 必须位于最外层极点的外边，且无限远点必须在 \(ROC\) 内；等效地说，随 \(z\to \infty\) 时， \(H(z)\) 的极限必须是有限的。这就等效于，当 \(H(z)\) 的分子和分母都是表示成的 \(z\) 的多项式时，其分子的阶次不会大于分母的阶次。即
一个具有有理系统函数 \(H(z)\) 的 \(LTI\) 系统要是因果的，当且仅当：(1) \(ROC\) 位于最外层极点某一个圆的外面；和 (2) 若 \(H(z)\) 表示成 \(z\) 的多项式之比，其分子的阶次不能大于分母的阶次。
5.2. 稳定性
一个离散时间 \(LTI\) 系统的稳定性就等效于它的单位脉冲响应是绝对可和的，在这种情况下， \(h[n]\) 的傅里叶变换收敛，结果就是 \(H(z)\) 的 \(ROC\) 必须包括单位圆。综上所述，可得如下结果：
一个 \(LTI\) 系统当且仅当它的系统函数 \(H(z)\) 的 \(ROC\) 包括单位圆，该系统就是稳定的。
对于一个具有有理系统函数的因果系统而言，\(ROC\) 位于最外层极点的外边。对于这个包括单位圆的 \(ROC\) ，系统的全部极点都必须位于单位圆内，即
一个具有有理系统函数的因果 \(LTI\) 系统，当且仅当 \(H(z)\) 的全部极点都位于单位圆内时，也即全部极点模均小于 1 时，系统就是稳定的。
5.3. 由线性常系数差分方程表征的 \(LTI\) 系统
对于一般的 \(N\) 阶差分方程，可以对方程两边进行 \(z\) 变换，并利用线性和时移性质。现考虑一个 \(LTI\) 系统，其输入、输出满足如下线性常系数差分方程：
\[\tag{25} \sum_{k=0}^{N}a_ky[n-k] = \sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k]\]
对式（25）两边取 \(z\) 变换，可得
\[\tag{26} \sum_{k=0}^{N}a_k z^{-k}Y(z) = \sum_{k=0}^{M}b_k z^{-k}X(z)\]
这样就有
\[\tag{27} H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\displaystyle \sum_{k=0}^{M}b_k z^{-k}}{\displaystyle \sum_{k=0}^{N}a_k z^{-k}}\]
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