题解报告：hdu 1575 Tr A

Problem Description

A为一个方阵，则Tr A表示A的迹（就是主对角线上各项的和），现要求Tr(A^k)%9973。

Input

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。每组数据的第一行有n(2 <= n <= 10)和k(2 <= k < 10^9)两个数据。接下来有n行，每行有n个数据，每个数据的范围是[0,9]，表示方阵A的内容。

Output

对应每组数据，输出Tr(A^k)%9973。

Sample Input

2 2

1 0

0 1

3 99999999

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Sample Output

2686

解题思路：简单的矩阵快速幂。矩阵快速幂中初始化的矩阵就等同于普通快速幂初始化的1，这就是单位矩阵B，性质：B*A=A，即一开始若二进制最低位为1时，要先与初始的矩阵a相乘可得到a原矩阵，这和普通快速幂是一样的，就是1*a=a。单位矩阵就是主对角线都是1，其他全是0，以后当循环到二进制的最低位为1，矩阵b就和此时的矩阵('a')相乘即可。

AC代码：

 #include<bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 const int mod=;

 const int maxn=;

 struct Matrix{int m[maxn][maxn];}init;

 int t,n,k;

 Matrix mul(Matrix a,Matrix b){

     Matrix c;

     for(int i=;i<n;i++){//枚举第一个矩阵的行。

         for(int j=;j<n;j++){//枚举第二个矩阵的列。

             c.m[i][j]=;

             for(int k=;k<n;k++)//枚举第一个矩阵的列数

                 c.m[i][j]=(c.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;

         }

     }

     return c;

 }

 Matrix POW(Matrix a,int x){//矩阵快速幂模仿一般快速幂，x为幂指数

     Matrix b;memset(b.m,,sizeof(b.m));//先初始化为0，再构造单位矩阵

     for(int i=;i<n;++i)b.m[i][i]=;

     while(x){

         if(x&)b=mul(b,a);//如果x的二进制最低位为1，则乘上A^(2^i)

         a=mul(a,a);//将矩阵a平方

         x>>=;

     }

     return b;

 }

 int main(){

     while(cin>>t){

         while(t--){

             cin>>n>>k;

             for(int i=;i<n;++i)

                 for(int j=;j<n;++j)

                     cin>>init.m[i][j];

             Matrix res=POW(init,k);//矩阵快速幂取模运算

             int ans=;

             for(int i=;i<n;++i)//主对角线上各项的和

                 ans=(ans+res.m[i][i])%mod;

             cout<<ans<<endl;

         }

     }

     return ;

 }

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