知识点-树链剖分
“在一棵树上进行路径的修改、求极值、求和”：乍一看只要线段树就能轻松解决，实际上，仅凭线段树是不能搞定它的。我们需要用到一种貌似高级的复杂算法——树链剖分。
树链，就是树上的路径。剖分，就是把路径分类为重链和轻链。
记siz[v]表示以v为根的子树的节点数，dep[v]表示v的深度(根深度为1)，top[v]表示v所在的链的顶端节点，f[v]表示v的父亲，son[v]表示v的子节点中siz[]最大的节点编号（即重儿子），id[v]表示v的父边在线段树中的位置。只要把这些东西求出来，就能用log（n）的时间完成原问题中的操作。
重儿子：如果siz[u]为v的子节点中siz值最大的，那么u就是v的重儿子。
轻儿子：v的其它子节点。
重边：点v与其重儿子的连边。
轻边：点v与其轻儿子的连边。
重链：由重边连成的路径。
轻链：轻边。
算法实现
首先用一个dfs函数求出siz，dep，f，son的值。
紧接着用一个build函数建树建链并求出id和top的值。对于节点v，如果有son[v]的存在，显然可得top[son[v]]=top[v]。在线段树中，节点的重边应当在节点的父边之后，所以id[son[v]]=++tot；在对重儿子进行深搜之后，枚举所有轻儿子。对于每个轻儿子u，显然有top[u]=u；同时也要id[top[u]]=++tot；
当建树建链的步骤完成后，可以根据题意进行相应的操作。
例题
题目描述
一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成一些操作：
I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t
II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值
III. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和
注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身
输入
输入的第一行为一个整数n，表示节点的个数。
接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有一条边相连。
接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。
接下来1行，为一个整数 q，表示操作的总数。
接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。
输出
样例输入
4
1 2
2 3
4 1
4 2 1 3
12
QMAX 3 4
QMAX 3 3
QMAX 3 2
QMAX 2 3
QSUM 3 4
QSUM 2 1
CHANGE 1 5
QMAX 3 4
CHANGE 3 6
QMAX 3 4
QMAX 2 4
QSUM 3 4
样例输出
4
1
2
2
10
6
5
6
5
16
提示
对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。
算法操作
1.修改操作update：本题只是单点更新，所以只需用普通的线段树修改方法即可。
2.求极值以及和问题fmax和fsum：属于同一种类型的题目。
首先记fu=top[u]，fv=top[v]。
若fu!=fv，即它们不处于同一条重链上，则不妨设dep[u]>=dep[v]，此时u的深度比v的要大。更新u到fu父边的答案后，使u=f[fu]，即将u类似LCA一样向上“跳”。
若fu=fv，则它们处于同一条重链上。若u!=v，则继续更新答案，否则得到答案。
代码
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define mid ((L+R)>>1)
#define ls (node<<1)
#define rs ls+1
using namespace std;
struct edge{
int to,nxt;
}edge[];
int cnt,n,tot;
int tsum[],tmax[],dep[],id[],head[],f[],son[],siz[],top[];
char ord[];
void add(int u,int v)//链式前向星
{
edge[++cnt].to=v;
edge[cnt].nxt=head[u];
head[u]=cnt;
}
void dfs(int node,int father,int deep)
{
f[node]=father;dep[node]=deep;siz[node]=;
for(int i=head[node];i;i=edge[i].nxt)
{
int to=edge[i].to;
if(to==father)continue;
dfs(to,node,deep+);
siz[node]+=siz[to];
if(siz[to]>siz[son[node]])son[node]=to;
}
}
void build(int node,int num)//建树建链
{
id[node]=++tot;
top[node]=num;
if(son[node])build(son[node],num);
for(int i=head[node];i;i=edge[i].nxt)
{
int to=edge[i].to;
if(to!=son[node]&&to!=f[node])build(to,to);
}
}
void update(int node,int L,int R,int u,int w)//更新节点
{
if(u>R||u<L)return;
if(L==R)
{
tsum[node]=tmax[node]=w;
return;
}
update(ls,L,mid,u,w);
update(rs,mid+,R,u,w);
tmax[node]=max(tmax[ls],tmax[rs]);
tsum[node]=tsum[ls]+tsum[rs];
}
int qmax(int node,int L,int R,int l,int r)
{
if(l>R||r<L)return -;
if(l<=L&&R<=r)return tmax[node];
int ans=max(qmax(ls,L,mid,l,r),qmax(rs,mid+,R,l,r));
return ans;
}
int qsum(int node,int L,int R,int l,int r)
{
if(l>R||r<L)return ;
if(l<=L&&R<=r)return tsum[node];
int ans=qsum(ls,L,mid,l,r)+qsum(rs,mid+,R,l,r);
return ans;
}
int fmax(int u,int v)
{
int ans=-;
while(top[u]!=top[v])
{
if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v);
ans=max(ans,qmax(,,tot,id[top[u]],id[u]));
u=f[top[u]];
}
if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
ans=max(ans,qmax(,,tot,id[u],id[v]));
return ans;
}
int fsum(int u,int v)
{
int ans=;
while(top[u]!=top[v])
{
if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v);
ans+=qsum(,,tot,id[top[u]],id[u]);
u=f[top[u]];
}
if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
ans+=qsum(,,tot,id[u],id[v]);
return ans;
}
int main()
{
int a,b,w,u,v,q;
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<n;i++)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
add(b,a);add(a,b);
}
dfs(,,);
build(,);
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&w);
update(,,tot,id[i],w);
}
scanf("%d",&q);
while(q--)
{
scanf("%s%d%d",ord,&u,&v);
if(ord[]=='C')update(,,tot,id[u],v);
else
{
if(ord[]=='M')printf("%d\n",fmax(u,v));
else printf("%d\n",fsum(u,v));
}
}
return ;
}