优化DP的奇淫技巧

时间：2021-04-03 16:34:39

DP是搞OI不可不学的算法。一些丧心病狂的出题人不满足于裸的DP，一定要加上优化才能A掉。

故下面记录一些优化DP的奇淫技巧。
裸的状态方程很好推。
f[i]=max(f[j]+sum[i]-sum[j]-100*I) (1<=j<i&&f[j]>=100*i)
然后把无关于j的提出来。
f[i]=max(f[j]-sum[j])+sum[i]-100*i;
好的，现在只需要把在O(1)的时间内求出max(f[j]-sum[j])就是坠吼得。
考虑两个决策f[j] f[k](j>k)
j决策比k决策优当且仅当
f[j]-sum[j]>=f[k]-sum[k]
f[j]-f[k]>=sum[j]-sum[k]
然后单调队列加成。O(N)就能求出答案。
 
//OJ 1326
//by Cydiater
//2016.8.8
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
      ,f=;
      ;ch=getchar();}
      +ch-';ch=getchar();}
      return x*f;
}
ll N,M,f[MAXN],q[MAXN],head=,tail=,sum[MAXN];
namespace solution{
      void init(){
            N=read();M=read();
            memset(sum,,sizeof(sum));
            up(i,,N)sum[i]=read()+sum[i-];
      }
      void dp(){
            memset(f,,sizeof(f));
            f[]=M;q[++tail]=;
            up(i,,N){
                  *i)head++;
                  int id=q[head];
                  f[i]=f[id]+sum[i]-sum[id]-i*;
                  while(head<=tail&&f[i]-f[q[tail]]>=sum[i]-sum[q[tail]])tail--;
                  q[++tail]=i;
            }
      }
      void output(){
            printf("%I64d\n",f[N]);
      }
}
int main(){
      //freopen("input.in","r",stdin);
      using namespace solution;
      init();
      dp();
      output();
      ;
}

OJ1327

和上一题差不多，对于每个i都要维护一个单调队列
//OJ 1327
//by Cydiater
//2016.8.8
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <iomanip>
#include <ctime>
#include <cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline int read(){
      ,f=;
      ;ch=getchar();}
      +ch-';ch=getchar();}
      return x*f;
}
][MAXN],head[],tail[],f[][MAXN];
namespace solution{
      void init(){
            memset(f,,sizeof(f));
            N=read();M=read();S=read();
            up(i,,N)u[i]=read();
            up(i,,N)d[i]=read();
      }
      void dp(){
            f[][]=;
            up(i,,)head[i]=,tail[i]=;
            q[][++tail[]]=;
            up(i,,N)down(j,S,){
                  ]<tail[i-]&&q[i-][head[i-]]>u[i]+j)head[i-]++;
                  f[i][j]=f[i-][q[i-][head[i-]]]+(M-d[i])*q[i-][head[i-]]+(u[i]+j)*d[i];
                  ])*q[i][tail[i]]>=f[i][j]+(M-d[i+])*j&&head[i]<=tail[i])tail[i]--;
                  q[i][++tail[i]]=j;
            }
      }
      void output(){
            printf(]);
      }
}
int main(){
      freopen("input.in","r",stdin);
      using namespace solution;
      init();
      dp();
      output();
      ;
}
原来这就是斜率优化
 
这道题的dp次序可以是升序的或者是降序的，这道题如果比较过升序和降序的DP方程的话显然降序是比较简便的DP次序。
 
然后可以得到这样的方程。T F表示前缀和，从N->1
f[i]=min{f[j]+(T[i]-T[j]+S)*F[i]} i<j<=N
简化DP方程
f[i]=min{f[j]-T[j]*F[i]}+(T[i]+S)*F[i] i<j<=N
那么设置决策x<y
如果x决策比y决策优，那么
f[x]-T[x]*F[i]<=f[y]-T[y]*F[i]
f[x]-f[y]<=T[x]*F[i]-T[y]*F[i]
(f[x]-[y])/(T[x]-T[y])<=F[i]
这样已经是化简的极限了，对于左边那一坨类似于斜率的东西，来进行斜率优化
设i<x<y<z<=N
设g(x,y)=(f[x]-[y])/(T[x]-T[y])
如果g(x,y)<g(y,z) 那么y决策没有x和z决策优
因为如果
1.g(x,y)<=F[i] ==> x比y优
2.g(y,z) >F[i] ==>z比y优
 
然后维护一个队列就行了
 
//OJ 1328
//by Cydiater
//2016.8.9
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline int read(){
      ,f=;
      ;ch=getchar();}
      +ch-';ch=getchar();}
      return x*f;
}
int N,S,F[MAXN],T[MAXN],a[MAXN],b[MAXN],f[MAXN],q[MAXN],head,tail;
namespace solution{
      void init(){
            N=read();S=read();
            up(i,,N){
                  a[i]=read();b[i]=read();
            }
            F[N+]=T[N+]=;
            down(i,N,){
                  T[i]=T[i+]+a[i];
                  F[i]=F[i+]+b[i];
            }
      }
      inline double K(int x,int y){return 1.0*(f[x]-f[y])/(1.0*(T[x]-T[y]));}
      void dp(){
            head=;tail=;q[++tail]=;
            down(i,N,){
                  ],q[head])<F[i])head++;
                  f[i]=f[q[head]]-T[q[head]]*F[i]+(T[i]+S)*F[i];
                  ]))tail--;
                  q[++tail]=i;
            }
      }
      void output(){
            cout<<f[]<<endl;
      }
}
int main(){
      //freopen("input.in","r",stdin);
      using namespace solution;
      init();
      dp();
      output();
      ;
}
同样是斜率优化的经典题目。题解都有，不放了
 
//OJ 1329
//by Cydiater
//2016.8.9
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#include <iomanip>
#include <string>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
#define FILE "bzoj_1010"
;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
      ,f=;
      ;ch=getchar();}
      +ch-';ch=getchar();}
      return x*f;
}
ll N,L,a[MAXN],f[MAXN],q[MAXN],head=,tail=;
namespace solution{
      inline double Q(int x){return a[x]+1.0*x;}
      inline ;}
      inline double col(int x,int y){
            double tmp2=f[y]+Q(y)*Q(y);
            double tmp1=f[x]+Q(x)*Q(x);
            return (tmp2-tmp1)/(Q(y)-Q(x));
      }
      void init(){
            N=read();L=read();
            memset(a,,sizeof(a));
            up(i,,N)a[i]=read()+a[i-];
      }
      void dp(){
            q[++tail]=;
            up(i,,N){
                  ])<*P(i))head++;
                  f[i]=f[q[head]]+(P(i)-Q(q[head]))*(P(i)-Q(q[head]));
                  ],q[tail])>col(q[tail],i))tail--;
                  q[++tail]=i;
            }
      }
      void output(){
            cout<<f[N]<<endl;
      }
}
int main(){
      //freopen("input.in","r",stdin);
      freopen(FILE".in","r",stdin);
      freopen(FILE".out","w",stdout);
      using namespace solution;
      init();
      dp();
      output();
      ;
}
依然是人民群众喜闻乐见的斜率优化。
刚开始以为土地顺序必须是固定的...
然后就很傻叉的推了半小时DP方程，无果
去搜了搜题解才发现土地顺序并不是固定的..
 
不废话，说正解
首先排序，以leftt为第一关键字降序，rightt为第二关键字升序/降序 
然后就能够找出所有可能对答案有贡献的土地
这时候对于所有的leftt显然是降序，对于所有的rightt显然是升序
然后就可以得到
f[i]=min{f[j]+leftt[j+1]*rightt[i]}
最后推出来:
(f[y]-f[x])/(leftt[x+1]-leftt[y+1])<=rightt[i] x<y
y比x优，然后维护一个下凸包就行了。
 
//OJ 1330
//by Cydiater
//2016.8.9
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
typedef pair<ll,ll> pll;
;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
      ,f=;
      ;ch=getchar();}
      +ch-';ch=getchar();}
      return x*f;
}
ll N,cnt=,q[MAXN],head=,tail=,f[MAXN];
pll t[MAXN],a[MAXN];
namespace solution{
      inline bool cmp(pll x,pll y){return x.first==y.first?x.second>y.second:x.first>y.first;}
      inline double col(int x,int y){
            ].first-a[y+].first));
      }
      void init(){
            N=read();
            up(i,,N){
                  t[i].first=read();
                  t[i].second=read();
            }
            sort(t+,t+N+,cmp);
            ll last=;
            t[].first=;t[].second=;
            up(i,,N){
                  if(t[i].first<=t[last].first&&t[i].second<=t[last].second)continue;
                  else{
                        a[++cnt]=t[i];
                        last=i;
                  }
            }
            N=cnt;
      }
      void dp(){
            q[++tail]=;
            up(i,,N){
                  ])<=a[i].second)head++;
                  f[i]=f[q[head]]+a[q[head]+].first*a[i].second;
                  ],q[tail]))tail--;
                  q[++tail]=i;
            }
      }
      void output(){
            cout<<f[N]<<endl;
      }
}
int main(){
      //freopen("input.in","r",stdin);
      using namespace solution;
      init();
      dp();
      output();
      ;
}
DP斜率优化的套路貌似很固定的样子
 
提出决策相关的式子，然后各种变形，最后得出
(f(y)-f(x))/(s(y)-s(x))<p(i)之类的东西就行了
 
//OJ 1661
//by Cydiater
//2016.8.10
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
      ,f=;
      ;ch=getchar();}
      +ch-';ch=getchar();}
      return x*f;
}
ll N,A,B,C,sum[MAXN],q[MAXN],head,tail,f[MAXN];
namespace solution{
      inline double F(int x){return f[x]+A*sum[x]*sum[x]-B*sum[x];}
      inline double sqr(ll x){return x*x;}
      void init(){
            memset(sum,,sizeof(sum));
            memset(f,,sizeof(f));
            N=read();A=read();B=read();C=read();
            up(i,,N)sum[i]=read()+sum[i-];
      }
      void dp(){
            head=;tail=;q[++tail]=;
            up(i,,N){
                  ])-F(q[head])>sum[i]**A*(sum[q[head+]]-sum[q[head]]))head++;
                  f[i]=f[q[head]]+A*(sum[i]-sum[q[head]])*(sum[i]-sum[q[head]])+B*(sum[i]-sum[q[head]])+C;
                  ]])>(F(q[tail])-F(q[tail-]))*(sum[i]-sum[q[tail]]))tail--;
                  q[++tail]=i;
            }
      }
      void output(){
            cout<<f[N]<<endl;
      }
}
int main(){
      //freopen("input.in","r",stdin);
      using namespace solution;
      init();
      dp();
      output();
      ;
}

BZOJ1096

又是一道鬼畜的斜率优化..
又是一如既往的推错公式
下面上公式编辑器
 
优化DP的奇淫技巧

优化DP的奇淫技巧

//OJ 1662
//by Cydiater
//2016.8.11
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
      ,f=;
      ;ch=getchar();}
      +ch-';ch=getchar();}
      return x*f;
}
ll f[MAXN],p[MAXN],s[MAXN],cost[MAXN],N,q[MAXN],head,tail,sum1[MAXN],sum2[MAXN];
namespace solution{
      inline double col(int y,int x){
            double tmp1=f[x]-f[y]+sum1[x]-sum1[y];
            double tmp2=sum2[x]-sum2[y];
            return tmp1/tmp2;
      }
      void init(){
            N=read();
            up(i,,N){
                  s[i]=read();
                  p[i]=read();
                  cost[i]=read();
                  sum1[i]=sum1[i-]+p[i]*s[i];
                  sum2[i]=sum2[i-]+p[i];
            }
      }
      void dp(){
            head=;tail=;q[++tail]=;
            up(i,,N){
                  ])<s[i])head++;
                  f[i]=cost[i]+s[i]*(sum2[i]-sum2[q[head]])-(sum1[i]-sum1[q[head]])+f[q[head]];
                  ],q[tail])>col(q[tail],i))tail--;
                  q[++tail]=i;
            }
      }
      void output(){
            cout<<f[N]<<endl;
      }
}
int main(){
      freopen("input.in","r",stdin);
      using namespace solution;
      init();
      dp();
      output();
      ;
}
终于自己推出来一道题了
 
写完这道题豁然开朗了，之前很多不等式没推对一个很重要的原因就是
不等式右边应该是仅与i相关的多项式
不等式右边应该是仅与i相关的多项式
不等式右边应该是仅与i相关的多项式
 
重要的事情说三遍
下面给出推导：
 
优化DP的奇淫技巧

优化DP的奇淫技巧

//BZOJ 3156
//by Cydiater
//2016.8.11
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
      ,f=;
      ;ch=getchar();}
      +ch-';ch=getchar();}
      return x*f;
}
ll N,f[MAXN],q[MAXN],head,tail,a[MAXN];
namespace solution{
      inline double col(ll x,ll y){
            *(f[y]-f[x])+(x+y+)*(y-x);
            *(y-x);
            return tmp1/tmp2;
      }
      void init(){
            N=read();
            up(i,,N)a[i]=read();
      }
      void dp(){
            head=;tail=;q[++tail]=;
            up(i,,N){
                  ])<i)head++;
                  f[i]=f[q[head]]+(i-q[head])*(i-q[head]-)/+a[i];
                  ],q[tail]))tail--;
                  q[++tail]=i;
            }
      }
      void output(){
            printf("%lld\n",f[N]);
      }
}
int main(){
      //freopen("input.in","r",stdin);
      //freopen("out2.out","w",stdout);
      using namespace solution;
      init();
      dp();
      output();
      ;
}

BZOJ 3675

因为这个会出现分母为0的情况..
所以应该把小于变成小于等于..
好坑..
 
优化DP的奇淫技巧
//BZOJ 3675
//by Cydiater
//2016.8.11
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
      ,f=;
      ;ch=getchar();}
      +ch-';ch=getchar();}
      return x*f;
}
ll N,K,sum[MAXN],f[MAXN][],q[MAXN][],head[],tail[];
namespace solution{
      inline ll col(int i,int k){return sum[k]*sum[k]-f[k][i];}
      inline bool judge(int x,int y,int z,int k){
            return (col(k,y)-col(k,x))*(sum[z]-sum[y])>=(col(k,z)-col(k,y))*(sum[y]-sum[x]);
      }
      void init(){
            N=read();K=read();K++;
            up(i,,N)sum[i]=read()+sum[i-];
      }
      void dp(){
            memset(f,,sizeof(f));
            head[]=;tail[]=;q[++tail[]][]=;
            up(j,,K){
                  ;
                  head[k%]=;tail[k%]=;
                  up(i,,N){
                        ]<tail[k^]&&col(k^,q[head[k^]+][k^])-col(k^,q[head[k^]][k^])<sum[i]*(sum[q[head[k^]+][k^]]-sum[q[head[k^]][k^]]))head[k^]++;
                        f[i][k%]=f[q[head[k^]][k^]][k^]+sum[q[head[k^]][k^]]*(sum[i]-sum[q[head[k^]][k^]]);
                        ]<tail[k%]&&judge(q[tail[k%]-][k%],q[tail[k%]][k%],i,k%))tail[k%]--;
                        q[++tail[k%]][k%]=i;
                  }
            }
            /*up(i,1,K)up(j,1,N)
            printf("i==%d k==%d f[i][k]==%d\n",i,j,f[j][i]);*/
      }
      void output(){
            cout<<f[N][K%]<<endl;
      }
}
int main(){
      //freopen("input.in","r",stdin);
      using namespace solution;
      init();
      dp();
      output();
      ;
}

今天在做一些奇奇怪怪的东西的时候又遇到了斜率优化，这时候get到一个新的点，斜率优化右边关于i的多项式应该是递增的

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