本题BZOJ权限题,但在bzojch上可以看题面。
题意:
N个点m条无向边,每个点有一个点权a。
对于任意一个三元环(i,j,k)(i<j<k),它的贡献为max(ai,aj,ak)
求所有三元环的贡献和。
N<100000,m<250000
Solution:
本题裸的三元环计数。
无向图三元环计数的问题大致做法:
统计每个点的度数,对于一条无向边$<u,v>$,若$deg[u]==deg[v]$则从编号小的点向编号大的点连有向边,否则从$deg$较大的向较小的点连有向边。
这样无向图就变为了一个DAG模型,然后扫一下每个点$u$,对其出点$v$打标记$vis[v]=u$,再对每个出点$v$的出点$w$判断是否满足$vis[w]=u$即可。
分析一波时间复杂度:
不难发现对于每条边$u\rightarrow v$,我们需要统计的是出度个数$out_v$,那么总的贡献是$\sum_\limits{i=1}^{i\leq n}{out_i}$。
假设$out_v\leq \sqrt m$,由于$u\rightarrow v$,则$deg_u\geq deg_v$,这样$u$最多$n$个,于是此时最坏复杂度为$O(n\sqrt m)$;
假设$out_v>\sqrt m$,由于$u\rightarrow v$,则$deg_u\geq deg_v$,于是$deg_u>\sqrt m$,这样$u$最多$\sqrt m$个,于是此时最坏时间复杂度$O(m\sqrt m)$。
综上所述,$n,m$同阶时,该算法时间复杂度$O(n\sqrt m)$。
那么本题三元环计数时累加答案就好了。
代码:
/*Code by 520 -- 9.10*/
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define RE register
#define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
using namespace std;
const int N=;
int n,m,a[N],deg[N],vis[N];
int to[N],net[N],h[N],cnt;
struct node{
int u,v;
}e[N];
ll ans; int gi(){
int a=;char x=getchar();bool f=;
while((x<''||x>'')&&x!='-')x=getchar();
if(x=='-')x=getchar(),f=;
while(x>=''&&x<='')a=(a<<)+(a<<)+(x^),x=getchar();
return f?-a:a;
} il void add(int u,int v){to[++cnt]=v,net[cnt]=h[u],h[u]=cnt;} int main(){
n=gi(),m=gi();
For(i,,n) a[i]=gi();
For(i,,m) e[i].u=gi(),e[i].v=gi(),++deg[e[i].u],++deg[e[i].v];
For(i,,m) {
RE int u=e[i].u,v=e[i].v;
if(deg[u]<deg[v]||deg[u]==deg[v]&&u>v) swap(u,v);
add(u,v);
}
For(u,,n){
for(RE int i=h[u];i;i=net[i]) vis[to[i]]=u;
for(RE int i=h[u];i;i=net[i]) {
RE int v=to[i];
for(RE int j=h[v];j;j=net[j]){
RE int w=to[j];
if(vis[w]==u)ans+=max(a[u],max(a[v],a[w]));
}
}
}
cout<<ans;
return ;
}