Leetcode#53.Maximum Subarray(最大子序和)

时间:2021-08-15 15:46:28

题目描述

给定一个序列(至少含有 1 个数),从该序列中寻找一个连续的子序列,使得子序列的和最大。

例如,给定序列 [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],

连续子序列 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6。

扩展练习:

若你已实现复杂度为 O(n) 的解法,尝试使用更为精妙的分治法求解。

思路

思路一:

maxSum 必然是以nums[i](取值范围为nums[0] ~ nums[n-1])结尾的某段构成的,也就是说maxSum的candidate必然是以nums[i]结果的。如果遍历每个candidate,然后进行比较,那么就能找到最大的maxSum了。

假设把nums[i]之前的连续段叫做sum。可以很容易想到:

  1. 如果sum>=0,就可以和nums[i]拼接在一起构成新的sum。因为不管nums[i]多大,加上一个正数总会更大,这样形成一个新的candidate。
  2. 反之,如果sum<0,就没必要和nums[i]拼接在一起了。因为不管nums[i]多小,加上一个负数总会更小。此时由于题目要求数组连续,所以没法保留原sum,所以只能让sum等于从nums[i]开始的新的一段数了,这一段数字形成新的candidate。
  3. 如果每次得到新的candidate都和全局的maxSum进行比较,那么必然能找到最大的max sum subarray.

在循环过程中,用maxSum记录历史最大的值。从nums[0]到nums[n-1]一步一步地进行。

思路二:

遍历array,对于每一个数字,我们判断,(之前的sum + 这个数字) 和 (这个数字) 比大小,如果(这个数字)自己就比 (之前的sum + 这个数字) 大的话,那么说明不需要再继续加了,直接从这个数字,开始继续,因为它自己已经比之前的sum都大了。

反过来,如果 (之前的sum + 这个数字)大于 (这个数字)就继续加下去。

利用动态规划做题。

只遍历数组一遍,当从头到尾部遍历数组A, 遇到一个数有两种选择 (1)加入之前subArray (2)自己另起一个subArray

设状态S[i], 表示以A[i]结尾的最大连续子序列和,状态转移方程如下:

S[i] = max(S[i-1] + A[i],A[i])

从状态转移方程上S[i]只与S[i-1]有关,与其他都无关,因此可以用一个变量来记住前一个的最大连续数组和就可以了。这样就可以节省空间了。

代码实现

package Array;

/**
* 53.Maximum Subarray(最大子序和)
* 给定一个序列(至少含有 1 个数),从该序列中寻找一个连续的子序列,使得子序列的和最大。
* 例如,给定序列 [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
* 连续子序列 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6。
*/
public class Solution53 {
public static void main(String[] args) {
Solution53 solution53 = new Solution53();
int[] arr = {-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4};
System.out.println(solution53.maxSubArray(arr));
} /**
* maxSum 必然是以nums[i](取值范围为nums[0] ~ nums[n-1])结尾的某段构成的,也就是说maxSum的candidate必然是以nums[i]结果的。如果遍历每个candidate,然后进行比较,那么就能找到最大的maxSum了。
* 假设把nums[i]之前的连续段叫做sum。可以很容易想到:
* 1. 如果sum>=0,就可以和nums[i]拼接在一起构成新的sum。因为不管nums[i]多大,加上一个正数总会更大,这样形成一个新的candidate。
* 2. 反之,如果sum<0,就没必要和nums[i]拼接在一起了。因为不管nums[i]多小,加上一个负数总会更小。此时由于题目要求数组连续,所以没法保留原sum,所以只能让sum等于从nums[i]开始的新的一段数了,这一段数字形成新的candidate。
* 3. 如果每次得到新的candidate都和全局的maxSum进行比较,那么必然能找到最大的max sum subarray.
* 在循环过程中,用maxSum记录历史最大的值。从nums[0]到nums[n-1]一步一步地进行。
*
* @param nums
* @return
*/
public int maxSubArray(int[] nums) {
int sum = 0; //或者初始化为 sum = INT_MIN 也OK。
int maxSum = nums[0];
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (sum >= 0) {
sum += nums[i];
} else {
sum = nums[i];
}
if (sum > maxSum) {
maxSum = sum;
}
}
return maxSum;
} /**
* 遍历array,对于每一个数字,我们判断,(之前的sum + 这个数字) 和 (这个数字) 比大小,如果(这个数字)自己就比 (之前的sum + 这个数字) 大的话,那么说明不需要再继续加了,直接从这个数字,开始继续,因为它自己已经比之前的sum都大了。
* 反过来,如果 (之前的sum + 这个数字)大于 (这个数字)就继续加下去。
* 利用动态规划做题。
* 只遍历数组一遍,当从头到尾部遍历数组A, 遇到一个数有两种选择 (1)加入之前subArray (2)自己另起一个subArray
* 设状态S[i], 表示以A[i]结尾的最大连续子序列和,状态转移方程如下:
* S[i] = max(S[i-1] + A[i],A[i])
* 从状态转移方程上S[i]只与S[i-1]有关,与其他都无关,因此可以用一个变量来记住前一个的最大连续数组和就可以了。
* 这样就可以节省空间了。
* 时间复杂度:O(n) 空间复杂度:O(1)
*/
public int maxSubArray_2(int[] nums) {
int sum = 0; //或者初始化为 sum = INT_MIN 也OK。
int maxSum = nums[0];
//动态规划
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
sum = Math.max(sum + nums[i], nums[i]);
maxSum = Math.max(sum, maxSum);
}
return maxSum;
}
}