流水作业调度问题（不能直接使用动态规划法的例子）
流水作业调度的定义：
设有n个作业，每一个作业i均被分解为m项任务:
Ti1, Ti2, ┅ , Tim(1≤i≤n，故共有n×m个任务)，
要把这些任务安排到m台机器上进行加工。
如果任务的安排满足下列3个条件，
则称该安排为流水作业调度：
1. 每个作业i的第j项任务Tij (1≤i≤n, 1≤j≤m)
只能安排在机器Pj上进行加工；
2. 作业i的第j项任务Tij(1≤i≤n, 2≤j≤m)的开始加工时间
均安排在第j-1项任务Ti,j-1加工完毕之后；
(任何一个作业的任务必须依次完成，前一项任务完成之后才能开始着手下一项任务)
3. 任何一台机器在任何一个时刻最多只能承担一项任务。
最优流水作业调度：
设任务Tij在机器Pj上进行加工需要的时间为tij。
如果所有的tij (1≤i≤n, 1≤j≤m)均已给出，
要找出一种安排任务的方法，
使得完成这n个作业的加工时间为最少。
这个安排称之为最优流水作业调度。
完成n个作业的加工时间：
从安排的第一个任务开始加工, 到最后一个任务加工完毕，
其间所需要的时间。
优先调度：
允许优先级较低的任务在执行过程中被中断，
转而去执行优先级较高的任务。
非优先调度：
任何任务一旦开始加工，就不允许被中断，
直到该任务被完成。
流水作业调度一般均指的是非优先调度。
非优先调度可看成是特殊的优先调度：
所有任务的优先级均相同。
7 5 8
e.g. （tij）= 2 2 6
0 7 4
注意：tij为0表示作业i无须在机器Pj上进行加工、
即该道工序可以省略。
已经证明，当机器数(或称工序数)m≥3时，
流水作业调度问题是一个NP-hard问题（e.g分布式任务调度）。
（粗糙地说，即该问题至少在目前
基本上没有可能找到多项式时间的算法。）
∴ 只有当m=2时，该问题可有多项式时间的算法。
为方便起见，记ti1为ai（作业i在P1上加工所需时间），
ti2为bi（作业i在P2上加工所需时间）。
当机器P1为空闲即未安排任何加工任务时，
则任何一个作业的第一个任务（第一道工序）
都可以立即在P1上执行，无须任何先决条件。
因此容易知道，
必有一个最优调度使得在P1上的加工是无间断的。
实际上，如某个最优调度π在P1上安排的加工是有间断的，
则我们可以把所有在P1上出现间断处的任务的
开始加工时间提前，使得在P1上的加工是无间断的；
而在P2上仍按π原先的安排。
把这样调整之后的调度记作为π’。
由于在调度π’下，任何一个任务在P1上加工的结束时间
不晚于在调度π下的结束时间，故调度π’
不会影响在P2上进行加工的任何一个任务的开始时间。
由于调度π’在P1上的结束时间早于调度π，
在P2上的结束时间与调度π相同，而π又是最优调度，
所以π’也是最优调度。由此我们得到：
一定有一个最优调度使得在P1上的加工是无间断的。
另外，也一定有一个最优调度使得在P2上的加工空闲时间
（从0时刻起算）为最小，
同时还满足在P1上的加工是无间断的。（证明留作作业）
因此，如果我们的目标是只需找出一个最优调度，
我们可以考虑找：在P1上的加工是无间断的、
同时使P2的空闲时间为最小的最优调度。
（根据上述理由，这样的最优调度一定存在。）
可以证明，若在P2上的加工次序与在P1上的加工次序不同，
则只可能增加加工时间（在最好情况下，增加的时间为0）。
也就是说，在P1上的加工次序已确定的情况下，
至少有一个最优调度，
其在P1上的加工次序与在P2上的加工次序是完全相同的
（这一点对m≥3不成立）。
因此，当只需找到一个最优调度时，
我们仅需要考虑在P1和P2上加工次序完全相同的调度。
以下的讨论均以此为前提。
为简化起见，我们假定所有ai≠0。因为如果有ai=0的作业，
我们可以先对所有ai≠0的作业进行调度，
然后把所有ai=0的作业放到最前面执行（可按任意次序）。
最优调度具有如下性质：
在所确定的最优调度的排列中去掉第一个执行作业后，
剩下的作业排列仍然还是一个最优调度，
即该问题具有最优子结构的性质。
而且，在计算规模为n的作业集合的最优调度时，
该作业集合的子集合的最优调度会被多次用到，
即该问题亦具有高度重复性。
这就引导我们考虑用动态规划法求解。
然而，正如我们下面将会看到的，
虽然使用动态规划法可以得到一些有用的结果，
但如果不加以某种改进，
完全照搬动态规划法会使得算法的时间复杂度成为指数量级。
问题求解的思路如下。
设N={1，2，┅，n}是全部作业的集合，
作业集S是N的子集合即有S 属于N。
在我们对S中的第一个作业开始进行加工时，
机器P2上加工的其它作业可能还尚未完成，
不能立即用来对S中的作业进行加工。
假设对机器P2需等待t个时间单位以后
才可以用于S中的作业加工（t也可以为0即无须等待），
并记g(S,t)为在此情况下完成S中全部作业的最短时间，
则可用下述递归表达式来表出g(S,t)：
g(S,t)=mini∈S{ai+ g(S-{i},bi+max{t-ai,0})} （*）
即：当选定作业i为S中第一个加工作业之后，
在机器P2上开始对S-{i}中的作业进行加工之前，
所需要的等待时间为bi+max{t-ai,0}。
这是因为，
若P2在开始加工S中的作业之前需等待t个时间单位且t > ai，则作业i在P1上加工完毕（需时ai）之后，
还要再等t-ai个时间单位才能开始在P2上加工；
若t≤ai，则作业i在P1上加工完毕之后，立即可以在P2上加工，
等待时间为0。故P2在开始对S-{i}中的作业进行加工之前，
所需要的等待时间为bi+max{t-ai,0}。
（bi是作业i在P2上加工所需的时间）。
当S=N即全部作业开始加工时，
由于P2上尚无任何正在加工的作业，故此时等待时间t=0。
于是我们有：g(N,0)=min1≤i≤n{ai+ g(N-{i},bi)}
虽然根据（*）式我们可以编写出计算g(N,0)的程序，
但该算法的时间复杂度为指数量级，
因为算法中对N的每一个非空子集都要进行一次计算，
而N的非空子集共有2n-1个。
因此，我们不能直接使用动态规划法来求解该问题，
而需要对算法作一定的改进。
设π是作业子集S的某一个调度，
该调度首先安排作业i，其次安排作业j，
P2需等待t个时间单位以后才可以用于S中的作业加工。
记t’= bi+max{t-ai,0}，则由（*）式调度π的g(S,t)可写为
g(S,t)=ai+ g(S-{i}, t’)= ai+ aj+ g(S-{i,j}, bj+max{t’-aj,0})。
由于x+ max{y1, y2,?,yn}= max{x+y1,x+y2,?,x+yn},，
t’= bi+max{t-ai,0}，
所以bj+max{t’-aj,0}=
bj+max{bi+max{t-ai,0}-aj, 0}= bj+bi - aj+max{max{t-ai,0},aj-bi}
=bj+ bi - aj +max{t-ai, 0, aj-bi}
=bj+ bi - aj - ai +max{t, ai, ai+aj-bi}。
记tij= bj+ bi - aj - ai +max{t, ai, ai+aj-bi}（= bj+max{t’-aj,0}），
则调度π的g(S,t)=ai+ aj+ g(S-{i,j}, tij)。
将调度π中的作业i与j的加工次序交换（其它加工次序不变）
所得调度记为π’，
则调度π’的最早完工时间g’(S,t)=ai+ aj+ g(S-{i,j}, tji)。
显然，若tij ≤ tji，
则有g(S,t) ≤ g’(S,t)即i在前j在后的安排用时较少；
反之，若tij >tji，则j在前i在后的安排用时较少。
因此，我们要找出判断tij与tji之间的大小关系的表达式。
由于tij-tji= max{t, ai, ai+aj-bi}- max{t, aj, ai+aj-bj}，
故我们只要比较
max{t, ai, ai+aj-bi}与max{t, aj, ai+aj-bj}的大小就可以了,
即tij ≤ tji当且仅当max{t, ai, ai+aj-bi} ≤ max{t, aj, ai+aj-bj}。
由于max{t, ai, ai+aj-bi} ≤ max{t, aj, ai+aj-bj}
对任何t ≥ 0成立，当且仅当
max{ai, ai+aj-bi} ≤ max{aj, ai+aj-bj}成立，当且仅当
ai+aj+max{-aj, -bi} ≤ ai+aj+max{-ai, -bj}成立，当且仅当
max{-aj, -bi} ≤ max{-ai, -bj}成立，当且仅当
min{aj, bi} ≥ min{ai, bj}成立（此式称为Johnson不等式）。
即当min{ ai , aj , bi , bj}为ai或者bj时，Johnson不等式成立，
此时把i排在前j排在后的调度用时较少；
反之，若min{ ai , aj , bi , bj}为aj或者bi时，
则j排在前i排在后的调度用时较少。
将此情况推广到一般。
当min{ a1, a2,┅, an , b1, b2,┅, bn }=ak时，
则对任何i≠k，都有min{ai, bk} ≥ min{ak, bi}成立，
故此时应将作业k安排在最前面，
作为最优调度的第一个执行的作业；
当min{ a1, a2,┅, an , b1, b2,┅, bn }= bk时，
则对任何i≠k，也都有min{ak, bi}≥min{ai, bk}成立，
故此时应将作业k安排在最后面，
作为最优调度的最后一个执行的作业。
n个作业中首先开工（或最后开工）的作业确定之后，
对剩下的n-1个作业采用相同方法可再确定其中的一个作业,
应作为n-1个作业中最先或最后执行的作业；
反复使用这个方法直到最后只剩一个作业为止，
最优调度就确定了。
e.g. n=4, (a1, a2, a3, a4)=(5,12,4,8), (b1, b2, b3, b4)=(6,2,14,7)。
(a1, a2, a3, a4)与(b1, b2, b3, b4)合起来排序的结果为(2,4,5,6,7,8,12,14)=(b2,a3,a1,b1,b4,a4,a2, b3)。
最小数是b2，故作业2应安排为最后一个作业：π(4)←2。
次小数是a3，故作业3应安排为第一个作业：π(1)←3。
第3小数是a1，故作业1应安排为第二个作业：π(2)←1。
第4小数是b1，因作业1已安排过，故转去看下一个数。
第5小数是b4，故作业4应安排为倒数第二个作业：π(3)←4。至此，所有作业均已安排完毕。本例的调度图解如下。
求解该问题的算法如下。
1. 建立长为2n的数组C，将a1, a2,┅, an依次放入C[1]~ C[n]中，b1, b2,┅, bn依次放入C[n+1]~ C[2n]中。
2. 对长为2n的数组D进行初始化：D[1]~ D[n]中依次放1,2,┅,n，D[n+1]~ D[2n]中依次放-1,-2,┅,-n。
3. 对数组C进行排序，D[k]始终保持与C[k]的对应关系。
（若C[i]与C[j]对换，则D[i]也与D[j]对换。
或将C，D放在同一结构体中。）
当a1, a2,┅, an及b1, b2,┅, bn按从小到大次序排好之后，
D[1]~ D[2n]也就按从小到大的次序记录了这些ai和bj的下标即作业号（bj的下标前有一负号以区别于ai））。
4. 将E[1]~ E[n]全部置为“No”。
5. 下标变量初始化：i←1；j←n；k←1；
6. while i ≤ j do {
if D[k] > 0 then {if E[D[k]]为“No”then
{F[i]←D[k]; i增1; E[D[k]] 置为“Yes”}}
else if E[–D[k]]为“No”then
{F[j]←–D[k]; j减1; E[–D[k]] 置为“Yes”}}
k增1；}
算法分析：
第1，2，4句的初始化均只需要O(n)时间，
第3句的排序需要O(n log n)时间，
第5句的下标变量初始化只需要O(1)时间，
至于第6句的循环，由于在D[1]~ D[2n]中放的是1,2,┅,n,
-1,-2,┅,-n共2n个数，（注意C数组排序后次序已经打乱）
且每执行一次循环k均增1，故当执行2n次时，
D数组中存放的每一个m或-m（m=1,2,┅,n）都会被遇到，
若m先遇到，则使得i增1；若-m先遇到，则使得j减1，
故最多执行完k=2n-1时，必然要有i > j，使得循环中止。
∴算法的时间复杂度为O(n log n)。
小结：
满足1）高度重复性 2）最优子结构性质 时，
一般采用动态规划法，但偶尔也得不到高效的算法。
若问题本身不是NP-hard问题，
那么进一步分析后有可能获得效率较高的算法。
若问题本身就是NP-hard问题，
那么与其它的精确算法相比，动态规划法一般性能不算太坏，
但有时也需要对动态规划法作进一步的加工。