这篇文章是对《算法导论》上Prim算法求无向连通图最小生成树的一个总结，其中有关于我的一点点小看法。
最小生成树的具体问题可以用下面的语言阐述：
输入：一个无向带权图G=(V,E)，对于每一条边(u, v)属于E，都有一个权值w。
输出：这个图的最小生成树，即一棵连接所有顶点的树，且这棵树中的边的权值的和最小。
举例如下，求下图的最小生成树：
这个问题是求解一个最优解的过程。那么怎样才算最优呢？
首先我们考虑最优子结构：如果一个问题的最优解中包含了子问题的最优解，则该问题具有最优子结构。
最小生成树是满足最优子结构的，下面会给出证明：
最优子结构描述：假设我们已经得到了一个图的最小生成树(MST) T，(u, v)是这棵树中的任意一条边。如图所示：
现在我们把这条边移除，就得到了两科子树T1和T2，如图：
T1是图G1=(V1, E1)的最小生成树，G1是由T1的顶点导出的图G的子图，E1={(x, y)∈E, x, y ∈V1}
同理可得T2是图G2=(V2, E2)的最小生成树，G2是由T2的顶点导出的图G的子图，E2={(x, y)∈E, x, y ∈V2}
现在我们来证明上述结论：使用剪贴法。w(T)表示T树的权值和。
首先权值关系满足：w(T) = w(u, v)+w(T1)+w(T2)
假设存在一棵树T1'比T1更适合图G1，那么就存在T'={(u,v)}UT1'UT2'，那么T'就会比T更适合图G，这与T是最优解相矛盾。得证。
因此最小生成树具有最优子结构，那么它是否还具有重叠子问题性质呢？我们可以发现，不管删除那条边，上述的最优子结构性质都满足，都可以同样求解，因此是满足重叠子问题性质的。
考虑到这，我们可能会想：那就说明最小生成树可以用动态规划来做咯？对，可以，但是它的代价是很高的。
我们还能发现，它还有个更强大的性质：贪心选择性质。因而可用贪心算法完成。
贪心算法特点：一个局部最优解也是全局最优解。
最小生成树的贪心选择性质：令T为图G的最小生成树，另A⊆V，假设边(u, v)∈E是连接着A到A的补集（也就是V-A)的最小权值边，那么(u, v)属于最小生成树。
证明：假设(u, v)∉T， 使用剪贴法。现在对下图进行分析，图中A的点用空心点表示，V-A的点用实心点表示：
在T树中，考虑从u到v的一条简单路径（注意现在(u, v)不在T中），根据树的性质，它是唯一的。
现在把(u, v)和这条路上中的第一条连接A和V-A的边交换，即画红杠的那条边，边(u, v)是连接A和V-A的权值最小边，那我们就得到了一棵更小的树，这就与T是最小 生成树矛盾。得证。
现在呢，我们来看看Prim的思想：Prim算法的特点是集合E中的边总是形成单棵树。树从任意根顶点s开始，并逐渐形成，直至该树覆盖了V中所有顶点。每次添加到树中的边都是使树的权值尽可能小的边。因而上述策略是“贪心”的。
算法的输入是无向连通图G=(V, E)和待生成的最小生成树的根r。在算法的执行过程中，不在树中的所有顶点都放在一个基于key域的最小优先级队列Q中。对每个顶点v来说，key[v]是所有将v与树中某一顶点相连的边中的最小权值；按规定如果不存在这样的边，则key[v]=∞。
实现Prim算法的伪代码如下所示：
MST-PRIM(G, w, r)
for each u∈V
do key[u] ← ∞
parent[u]← NIL
key[r] ← 0
Q ← V
while Q ≠∅
do u ← EXTRACT-MIN(Q)
for each v∈Adj[u]
do if v∈Q and w(u, v) < key[v]
then parent[v] ← u
key[v] ← w(u, v)
其工作流程为：
（1）首先进行初始化操作，将所有顶点入优先队列，队列的优先级为权值越小优先级越高
（2）取队列顶端的点u，找到所有与它相邻且不在树中的顶点v，如果w(u, v) < key[v]，说明这条边比之前的更优，加入到树中，即更改父节点和key值。这中间还 隐含着更新Q的操作（降key值）
（3）重复2操作，直至队列空为止。
（4）最后我们就得到了两个数组，key[v]表示树中连接v顶点的最小权值边的权值，parent[v]表示v的父结点。
现在呢，我们发现一个问题，这里要用到优先队列来实现这个算法，而且每次搜索邻接表都要进行队列更新的操作。
不管用什么方法，总共用时为O(V*T(EXTRACTION)+E*T(DECREASE))
（1）如果用数组来实现，总时间复杂度为O(V2)
（2）如果用二叉堆来实现，总时间复杂度为O(ElogV)
（3）如果使用斐波那契堆，总时间复杂度为O(E+VlogV)
上面的三种方法，越往下时间复杂度越好，但是实现难度越高，而且每次对最小优先队列的更新是非常麻烦的，那么，有没有一种方法，可以不更新优先队列也达到同样的 效果呢？
答案是：有。
其实只需要简单的操作就可以达到。首次只将根结点入队列。第一次循环，取出队列顶结点，将其退队列，之后找到队列顶的结点的所有相邻顶点，若有更新，则更新它们的key值后，再将它们压入队列。重复操作直至队列空为止。因为对树的更新是局部的，所以只需将相邻顶点key值更新即可。push操作的复杂度为O(logV)，而且省去了之前将所有顶点入队列的时间，因而总复杂度为O(ElogV)。
具体实现代码，邻接矩阵优先队列可以用STL实现：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
#define maxn 110 //最大顶点个数
int n, m; //顶点数，边数
struct arcnode //边结点
{
int vertex; //与表头结点相邻的顶点编号
int weight; //连接两顶点的边的权值
arcnode * next; //指向下一相邻接点
arcnode() {}
arcnode(int v,int w):vertex(v),weight(w),next(NULL) {}
};
struct vernode //顶点结点，为每一条邻接表的表头结点
{
int vex; //当前定点编号
arcnode * firarc; //与该顶点相连的第一个顶点组成的边
}Ver[maxn];
void Init() //建立图的邻接表需要先初始化，建立顶点结点
{
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
Ver[i].vex = i;
Ver[i].firarc = NULL;
}
}
void Insert(int a, int b, int w) //尾插法，插入以a为起点，b为终点，权为w的边，效率不如头插，但是可以去重边
{
arcnode * q = new arcnode(b, w);
if(Ver[a].firarc == NULL)
Ver[a].firarc = q;
else
{
arcnode * p = Ver[a].firarc;
if(p->vertex == b)
{
if(p->weight > w)
p->weight = w;
return ;
}
while(p->next != NULL)
{
if(p->next->vertex == b)
{
if(p->next->weight > w);
p->next->weight = w;
return ;
}
p = p->next;
}
p->next = q;
}
}
void Insert2(int a, int b, int w) //头插法，效率更高，但不能去重边
{
arcnode * q = new arcnode(b, w);
if(Ver[a].firarc == NULL)
Ver[a].firarc = q;
else
{
arcnode * p = Ver[a].firarc;
q->next = p;
Ver[a].firarc = q;
}
}
struct node //保存key值的结点
{
int v;
int key;
friend bool operator<(node a, node b) //自定义优先级，key小的优先
{
return a.key > b.key;
}
};
#define INF 0xfffff //权值上限
int parent[maxn]; //每个结点的父节点
bool visited[maxn]; //是否已经加入树种
node vx[maxn]; //保存每个结点与其父节点连接边的权值
priority_queue<node> q; //优先队列stl实现
void Prim() //s表示根结点
{
for(int i = 1; i <= n; i++) //初始化
{
vx[i].v = i;
vx[i].key = INF;
parent[i] = -1;
visited[i] = false;
}
vx[1].key = 0;
q.push(vx[1]);
while(!q.empty())
{
node nd = q.top(); //取队首，记得赶紧pop掉
q.pop();
if(visited[nd.v]) //注意这一句的深意，避免很多不必要的操作
continue;
visited[nd.v] = true;
arcnode * p = Ver[nd.v].firarc;
while(p != NULL) //找到所有相邻结点，若未访问，则入队列
{
if(!visited[p->vertex] && p->weight < vx[p->vertex].key)
{
parent[p->vertex] = nd.v;
vx[p->vertex].key = p->weight;
vx[p->vertex].v = p->vertex;
q.push(vx[p->vertex]);
}
p = p->next;
}
}
}
int main()
{
int a, b ,w;
cout << "输入n和m: ";
cin >> n >> m;
Init();
cout << "输入所有的边:" << endl;
while(m--)
{
cin >> a >> b >> w;
Insert2(a, b, w);
Insert2(b, a, w);
}
Prim();
cout << "输出所有结点的父结点:" << endl;
for(int i = 1; i <= n; i++)
cout << parent[i] << " ";
cout << endl;
cout << "最小生成树权值为：";
int cnt = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
cnt += vx[i].key;
cout << cnt << endl;
return 0;
}当明确知道没有重边时，用Insert2()进行插入能提高效率），运行结果如下（基于第一个例子）：
可用下列题进行测试：HDU搜索“畅通工程” POJ 1251
接下来是邻接矩阵实现Prim，非常简单，但是有几点还是需要注意的：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
#define maxn 110
#define INF 100020 //预定于的最大值
int n; //顶点数、边数
int g[maxn][maxn]; //邻接矩阵表示
struct node //保存key值的结点
{
int v;
int key;
friend bool operator<(node a, node b) //自定义优先级，key小的优先
{
return a.key > b.key;
}
};
int parent[maxn]; //每个结点的父节点
bool visited[maxn]; //是否已经加入树种
node vx[maxn]; //保存每个结点与其父节点连接边的权值
priority_queue<node> q; //优先队列stl实现
void Prim() //s表示根结点
{
for(int i = 1; i <= n; i++) //初始化
{
vx[i].v = i;
vx[i].key = INF;
parent[i] = -1;
visited[i] = false;
}
vx[1].key = 0;
q.push(vx[1]);
while(!q.empty())
{
node nd = q.top(); //取队首，记得赶紧pop掉
q.pop();
if(visited[nd.v] == true) //深意，因为push机器的可能是重复但是权值不同的点，我们只取最小的
continue;
int st = nd.v;
//cout << nd.v << " " << nd.key << endl;
visited[nd.v] = true;
for(int j = 1; j <= n; j++)
{
if(j!=st && !visited[j] && g[st][j] < vx[j].key) //判断
{
parent[j] = st;
vx[j].key = g[st][j];
q.push(vx[j]);
}
}
}
}
int main()
{
while(~scanf("%d", &n)) //点的个数
{
for(int i = 1; i <= n; i++) //输入邻接矩阵
for(int j = 1; j <= n; j++)
{
scanf("%d", &g[i][j]);
if(g[i][j] == 0)
g[i][j] = INF; //注意0的地方置为INF
}
Prim(); //调用
int ans = 0; //权值和
for(int i = 1; i <= n; i++)
ans += vx[i].key;
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
题目：POJ 1258