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在数学（特别是线性代数）中，Woodbury矩阵恒等式是以Max A.Woodbury命名的，它 可以通过对原矩阵的逆进行秩k校正来计算某个矩阵的秩k校正的逆。这个公式的另一个名字是矩阵逆引理，谢尔曼-莫里森-伍德伯里（Sherman–Morrison–Woodbury formula）公式或只是伍德伯里公式。然而，在伍德伯里发现之前，这一等式出现在其他文献中。
1. 伍德伯里矩阵恒等式
[displaystyle left(A UCVright)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}Uleft(C^{-1} VA^{-1}Uright)^{-1}VA^{-1}]
其中(A)、(U)、(C) 和 (V)都表示适形尺寸的矩阵。具体来说，(A) 的大小为 (n×n)，(U) 为 (n×k)，(C) 为 (k×k)，(V) 为 (k×n)。
2. 扩展
不失一般性，可用单位矩阵替换矩阵A和C：
[displaystyle left(I UVright)^{-1}=I-Uleft(I VUright)^{-1}V]
这里(displaystyle U=A^{-1}X), (displaystyle V=CY)。
这个等式本身可以看作是两个简单等式的组合，即等式
[displaystyle (I P)^{-1}=I-(I P)^{-1}P=I-P(I P)^{-1}]
和所谓的 push-through 等式
[displaystyle (I UV)^{-1}U=U(I VU)^{-1}]的结合。
3. 特殊情况
当 (displaystyle V,U) 是向量时，伍德伯里恒等式退化为谢尔曼-莫里森公式，在标量情况下，它（简化版）只是：
[displaystyle {frac {1}{1 uv}}=1-{frac {uv}{1 uv}}]
如果 (p=q) 和 (U=V=I_p) 是单位矩阵，那么
[ left({A} {B}right)^{-1} =A^{-1}-A^{-1}(B^{-1} A^{-1})^{-1}A^{-1}]
[={A}^{-1}-{A}^{-1}left({I} {B}{A}^{-1}right)^{-1}{B}{A}^{-1}.]
继续合并上述方程最右边的项，就可以得到一下恒等式：
[displaystyle left({A} {B}right)^{-1}={A}^{-1}-left({A} {A}{B}^{-1}{A}right)^{-1}]
此等式的另一个有用的形式是：
[displaystyle left({A}-{B}right)^{-1}={A}^{-1} {A}^{-1}{B}left({A}-{B}right)^{-1}]
它有一个递归结构：
[displaystyle left({A}-{B}right)^{-1}=sum _{k=0}^{infty }left({A}^{-1}{B}right)^{k}{A}^{-1}]
这种形式可用于微扰展开式，其中 (B) 是 (A) 的微扰。
4. 推广
二项式逆定理（Binomial Inverse Theorem）
如果 (A)，(U)，(B)，(V) 分别是 (p×p)，(p×q)，(q×q)，(q×p)的矩阵，那么:
[displaystyle left(A UBVright)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}UBleft(B BVA^{-1}UBright)^{-1}BVA^{-1}]
前提是 (A) 和 (B BVA-1UB) 是非奇异的。后者的非奇异性要求 (B^{-1}) 存在，因为它等于 (B（I VA＝1ub）)，并且后者的秩不能超过 (B) 的秩。由于 (B) 是可逆的，所以在右手边的附加量逆的两边的两个 (B) 项可以被 ((B^{-1})^{-1}) 替换，从而得到原始的Woodbury恒等式:
[displaystyle (A UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1}]
在某些情况下，(A) 是有可能是奇异的。
5. 延伸
公式可以通过检查 (A UCV) 乘以伍德伯里恒等式右侧的所谓逆得到恒等式矩阵来证明：
(left(A UCVright)left[A^{-1}-A^{-1}Uleft(C^{-1} VA^{-1}Uright)^{-1}VA^{-1}right])
(={}left{I-Uleft(C^{-1} VA^{-1}Uright)^{-1}VA^{-1}right} left{UCVA^{-1}-UCVA^{-1}Uleft(C^{-1} VA^{-1}Uright)^{-1}VA^{-1}right}={})
(left{I UCVA^{-1}right}-left{Uleft(C^{-1} VA^{-1}Uright)^{-1}VA^{-1} UCVA^{-1}Uleft(C^{-1} VA^{-1}Uright)^{-1}VA^{-1}right}=)
( UCVA^{-1}-left(U UCVA^{-1}Uright)left(C^{-1} VA^{-1}Uright)^{-1}VA^{-1}=)
( UCVA^{-1}-UCleft(C^{-1} VA^{-1}Uright)left(C^{-1} VA^{-1}Uright)^{-1}VA^{-1} UCVA^{-1}-UCVA^{-1}left({A} {B}right)^{-1}) (=A^{-1}-A^{-1}(B^{-1} A^{-1})^{-1}A^{-1})$
[={A}^{-1}-{A}^{-1}left({I} {B}{A}^{-1}right)^{-1}{B}{A}^{-1}.].
参考文献
https://en.wikipedia.org/wiki/Woodbury_matrix_identity
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