编程之美——NIM(2) “拈”游戏分析

时间:2023-02-21 21:34:37
编程之美——NIM(2) “拈”游戏分析


问题:

有N块石头和两个玩家A和B,玩家A先将石头随机分成若干堆,然后按照BABA...的顺序不断轮流取石头,能将剩下的石头一次取光的玩家获胜,每次取石头时,每个玩家只能从若干堆石头中任选一堆,取这一堆石头中任意数目(大于0)个石头。

请问:

玩家A要怎样分配和取石头才能保证自己有把握取胜?


如果石头的个数N为偶数,A只要将其分为相同的两份,就一定能取胜。

初始:XOR(M1, M1) == 0

玩家B:XOR(M1, M2) != 0  (其中一堆的个数减少到M2)

玩家A:XOR(M2, M2) == 0  (玩家A将另一堆的个数也减少到M2)

结果:XOR(M2, M2) == 0  (直到结束状态(0, 0))


如果石头的个数N为奇数,B有必胜的方法。

初始:XOR(M1, M2, ... , Mn) != 0

玩家B:XOR(M1, ... , Mi', ... , Mn) == 0 (其中一堆Mi的个数减少到Mi')

玩家A:XOR(M1, ... , Mj', ... , Mn) != 0 

玩家B:XOR(M1, ... , Mi', ... , Mn) == 0 (其中一堆Mi的个数减少到Mi')

结果:XOR(M1, ... , Mj' , ... , Mn) == 0 (直到结束状态(0,0))


这里就有个问题:已知XOR(M1, M2, ... , Mn) != 0,玩家B该改变那个Mi以使得XOR(M1, ... , Mi', ... , Mn) == 0呢?

对于这个问题的答案,书中并未准确的结论。


经过本人的分析,所得到的结论如下:

设k=XOR(M1, M2, ... , Mn),已知k!=0,取一个数Mi,其二进制表达中在k的最高二进制位上的数为1,且这个

数Mi肯定存在(k的这个最高位在异或运算中肯定来自某一个Mi)。在程序中满足(Mi&k) > (k>>1)条件的数即为Mi。


简单证明:即假设k的二进制表达是1xx,那么Mi的二进制表达是x...x1xx,这样玩家B将该Mi改成Xi'=XOR(Mi, k)后,

Mi'的二进制表达是x...x0yy,肯定小于Mi,并且有XOR(M1, ... , Mi', ... , Mn) == 0。


下面的程序模拟了石头个数N为奇数的情况,其中玩家B用我 I 表示,玩家A用She表示。

[cpp] view plaincopy
  1. #include <iostream>  
  2. #include <cstdlib>  
  3. #include <ctime>  
  4. using namespace std;  
  5.   
  6. int A[10];  
  7.   
  8. int main()  
  9. {  
  10.     int n = 25; // 石头总数(可变)  
  11.     int m = 5;  // 划分的堆数(可变)  
  12.     int i, k, s;  
  13.     int sum=0;  
  14.     srand(time(0));  
  15.     // 模拟m堆的石头个数,A[i]表示第i堆石头的个数  
  16.     for (i=1; i<m; i++)  
  17.     {  
  18.         A[i] = rand()%(5*i-sum);  
  19.         sum += A[i];  
  20.     }   
  21.     A[m] = n - sum;  
  22.     while (true)  
  23.     {     
  24.         // 输出每个堆的石头个数  
  25.         for (i=1; i<=m; i++)  
  26.             cout << A[i] << " ";  
  27.         cout << endl;  
  28.   
  29.         int xor = 0;  
  30.         for (i=1; i<=m; i++)  
  31.             xor = xor^A[i];  
  32.         for (i=1; i<=m; i++)  
  33.             // 二进制表达中在k的最高二进制位上的数为1                       
  34.             if ((A[i]&xor) > (xor>>1))  break;       
  35.         printf("I: get %d stones from %d heap\n", A[i]-(A[i]^xor), i);        
  36.         // 将Mi改为Mi'  
  37.         A[i] = A[i]^xor;  
  38.         // 对方随机取数据        
  39.         for (i=1; i<=m && A[i]==0; i++);  
  40.         if (i>m) break;  
  41.         do  
  42.         {  
  43.             k = rand()%m + 1;  
  44.         }while (A[k] == 0);  
  45.         s = rand()%A[k] + 1;  
  46.         printf("She: get %d stones from %d heap\n", s, k);  
  47.         A[k] = A[k] - s;  
  48.     }  
  49.     return 0;  

  50. 参考:http://blog.csdn.net/linyunzju/article/details/7661060