函数
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(一)何谓函数
几乎每一个工程师，都形式的看待函数关系的科学定义(尽管这一定义中没有一个字提到解析表达式)，把函数首先看作是一个公式，一个解析表达式，而不去思考解析表达式以外的函数关系，这是他们和数学家的本质区别。我们一些综合大学的教授们每年都要在一年级的学生那里遇到这类冲突。这些学生从中学那里带来了几百年的传统与习惯。
对解析的理解只是一种吹毛求疵的态度，而不具有任何一点数学价值
在这种程度上，也就是在这种意义下，狄利克雷函数也可以解析表示，同正弦余弦一样。
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(二)函数的定义域
我们约定，如果
M 是一个实数集，而对于每一个x∈M 都对应一个确定的y ，则称变量y=f(x) 为定义在M 上的变量x 的函数。
每一个函数定义域的选定要么根据纯粹数学的理由，要么根据现实的理由。但在任何情况下，这些理由都应该来源于事情的本质，而不应该从某个解析工具的纯粹形中去寻找。 -
(三)连续性
分类和安排的第一个原则通常是，把所有的函数划分为连续的和间断的。若
limx→af(x)=f(a) 我们就说，函数y=f(x) 在x=a 处连续。也就是说，对于函数在a 处的连续性，首先要求极限limx→af(x) 存在，其次要求这个极限与函数在x=a 处所取得值要相同。这是一个局部连续的性质。一点连续，可取一邻域连续
其次，如果函数在给定区间
[a,b] 的每一点都依前述意义连续的话，我们则称其在闭区间[a,b] 内连续。要求a 点右连续，b 点左连续。 -
(四)有界函数
1. 有界的概念
函数
y=f(x) 称为在集合M 上是有界的，如果此函数在此集合上所取得值都属于某个区间。亦即∃c>0 ,对于任何的x∈M 都有|f(x)|≤c 有界性不像函数连续性那样，它是整个区间上的性质。一般的，由于整体可以推导局部，我们约定，如果函数y 在点x 的某一个邻域U 上有界，则称y 在点x 处有界。值得区别的是，虽说连续与有界都有这么一个特征：闭区间上点点连续与整体连续等价，闭区间上点点有界与整体有界等价。但是两者定义的先后是不一样的。连续点点连续推区间连续，而有界是区间有界推点点有界。开区间内点点有界不一定区间有界，因为对于任意一点函数值总是个定值。
2. 上下确界
简单来说，上确界即集合的最小上界，下确界即集合的最大上界。
我们称数β 为集合N 的上确界，如果 (1).集合N 不包含大于β 的数；(2).在数β 的任何一个邻域内都可以找到属于集合N 的数。具体表述即∀x∈N,x≤β∀ε>0,∃x0∈N,x0>β−ε 类似的我们可以定义下确界。
确界存在原理：任何在已知集合上有界的函数必在其上有唯一的上下确界。 -
(五)连续函数的基本性质
- (有界性定理)：闭区间上连续的函数必有界。
- (最值性定理)：闭区间上连续的函数必有最大值与最小值。
最大值即上确界，最小值即下确界
- (介值性定理)：若函数
f(x) 在区间[a,b] 上连续。且有f(a)<μ<f(b) ,则区间[a,b] 上可以至少找到一个数c ，使得f(c)=μ 。 - 事实上，在闭区间内，我们除了点点连续推区间连续外，还可以引入一致连续的概念，从整个区间描述函数的特征.称函数
y=f(x) 在区间[a,b] 是一致连续的
若:∀x1,x2∈[a,b],∀ε>0,∃δ>0 ,当|x1−x2|<δ 时，|f(x1)−f(x2)|<ε - 闭区间上函数连续与一致连续等价。(对开区间不成立，比如
sin1x 在区间(0,1) 上连续但不一致连续)
一致连续的需求并没有把连续函数的类缩小（闭区间）
未完待续