NOIP 2013 货车运输【Kruskal + 树链剖分 + 线段树 】【倍增】

NOIP 2013 货车运输【树链剖分】

树链剖分

题目描述 Description

A 国有 n 座城市，编号从 1 到 n，城市之间有 m 条双向道路。每一条道路对车辆都有重量限制，简称限重。现在有 q 辆货车在运输货物，司机们想知道每辆车在不超过车辆限重的情况下，最多能运多重的货物。

输入描述 Input Description

第一行有两个用一个空格隔开的整数 n，m，表示 A 国有 n 座城市和 m 条道路。
接下来 m 行每行 3 个整数 x、y、z，每两个整数之间用一个空格隔开，表示从 x 号城市到 y 号城市有一条限重为 z 的道路。注意：x 不等于 y，两座城市之间可能有多条道路。
接下来一行有一个整数 q，表示有 q 辆货车需要运货。
接下来 q 行，每行两个整数 x、y，之间用一个空格隔开，表示一辆货车需要从 x 城市运输货物到 y 城市，注意：x 不等于 y。

输出描述 Output Description

输出共有 q 行，每行一个整数，表示对于每一辆货车，它的最大载重是多少。如果货车不能到达目的地，输出-1。

样例输入 Sample Input

4 3 
1 2 4 
2 3 3 
3 1 1 
3
1 3 
1 4 
1 3

样例输出 Sample Output

3
-1
3

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于 30%的数据，0 < n < 1,000，0 < m < 10,000，0 < q < 1,000； 
对于 60%的数据，0 < n < 1,000，0 < m < 50,000，0 < q < 1,000； 
对于 100%的数据，0 < n < 10,000，0 < m < 50,000，0 < q < 30,000，0 ≤ z ≤ 100,000。

—————————————————————分割线—————————————————————

 分析：

货车要运输尽可能多的货物，一定要保证两点间的路径上载重尽可能大，即，两点间的最大载重路径一定在最大生成树上，否则，与最大生成树的定义相悖。

只需要求解，在最大生成树上的两点间路径上的最大载重，这里使用树链剖分解决。

Gster大爷说这道题可以用树剖写，于是就尝试了树剖。

[ATTENTION]:这里注意点权和边权的处理，E_val[]表示该节点与其父节点连边的边权。根节点的E_val[]设置为 INF，可以视为加入一个虚拟节点(如图) ，再用线段树维护即可。

注释&代码：

Code By SHHHS

解法一：

 /*
     树链剖分
     author : SHHHS
     2016-10-02 09:04:15
 */
 #include "bits/stdc++.h"

 using namespace std ;

 struct MST{int x , y , val ; } ;
 struct Edge{int to , next , val ; } ;
 struct SegTree{int l , r , mintr ; } ;
 const int INF =  ;
 const int maxN =  ;
 typedef long long QAQ ;

 MST MST_e[ maxN ] ;
 Edge e [ maxN ] ;
 SegTree tr[ maxN <<  ] ;
 int head[maxN] , father[maxN], DFN[maxN], hv[maxN],rank[maxN], E_val[maxN], start[maxN], pre[maxN];
 bool vis[maxN] ;

 int cnt , dfs_num ;
 QAQ Ans = INF ;

 void Init ( int n ){for ( int i =  ; i <= n ; ++i )father[ i ] = i ; }
 int getfa ( int x ){if(father[x] == x)return x ; else return father[ x ] = getfa( father[ x ] ) ; }
 inline bool cmp ( MST x , MST y ){ return x.val > y.val ; }
 inline int gmin ( int x , int y ){ return x > y ? y : x ; }
 inline void Union_Set ( const int x , const int y ){ father[ x ] = y ; }
 inline void Push_up ( int i ){tr[ i ].mintr = gmin (tr[ i <<  |  ].mintr, tr[ i <<  ].mintr) ; }
 inline void gswap ( int &x , int &y ) {int temp = x ; x = y ; y = temp ; }
 bool Check ( const int x , const int y ) { return getfa( x ) == getfa( y ) ? true : false ; }

 void Build_Tree ( int x , int y , int i ) {//建树
         tr[ i ].l = x ;
         tr[ i ].r = y ;
         if ( x == y ) tr[ i ].mintr = E_val[ rank[ x ] ] ;
         else {
                 int mid = ( tr[ i ].l + tr[ i ].r ) >>  ;
                 Build_Tree ( x , mid , i <<  ) ;
                 Build_Tree ( mid +  , y , i <<  |  ) ;
                 Push_up ( i ) ;
         }
 }

 inline void Add_Edge ( const int x , const int y , const int _val ) {//建边
         e[ ++cnt ].to = y ;
         e[ cnt ].val = _val ;
         e[ cnt ].next = head[ x ] ;
         head[ x ] = cnt ;
 }

 void MST ( int N , int M ) {//最大生成树
         int cnt_ =  ;
         Init ( N ) ;
         sort ( MST_e +  , MST_e + M +  , cmp ) ;//排序
         for ( int i =  ; i <= M ; ++i ) {
                 int px = getfa ( MST_e[i].x ) ;//祖先
                 int py = getfa ( MST_e[i].y ) ;//
                 if ( px == py ) continue ;
                 else {
                         Union_Set ( px , py ) ;
                         Add_Edge ( MST_e[i].x , MST_e[i].y , MST_e[i].val ) ;//建边
                         Add_Edge ( MST_e[i].y , MST_e[i].x , MST_e[i].val ) ;
                         ++cnt_ ;
                 }
                 if ( cnt_ == N -  ) break ;
         }
 }

 int Init_DFS ( const int x , const int fa ) {
         vis[ x ] = true ;
         int cnt_ =  , max_ =  ;//cnt_儿子数
         for ( int i = head[ x ] ; i ; i = e[ i ].next ) {
                 int temp = e[ i ].to ;//下一个节点
                 if ( temp == fa ) continue ;
                 int _ = Init_DFS ( temp , x ) ;//启发式建链
                 if ( _ > max_ ) {
                         max_ = _ ;
                         hv[ x ] = temp ;
                 }
                 cnt_ += _;
         }
         return cnt_ ;
 }

 void DFS ( const int x , const int fa ) {
         vis [ x ] = false ;
         if ( !start[ x ] ) start[ x ] = start[ fa ] ;//链头
         DFN[ x ] = ++ dfs_num ;// DFS序
         rank[ dfs_num ] = x ;// 节点在DFN数组中的位置
         if ( hv[ x ] ) DFS ( hv[ x ] , x ) ;//重儿子优先DFS
         for ( int i = head[ x ] ; i ; i = e[ i ].next ) {
                 if ( e[ i ].to == fa ) continue ;
                 E_val[ e[ i ].to ] = e[ i ] .val ;
                 if ( e[ i ].to != hv[ x ] && e[ i ].to != fa && vis[ e[ i ].to ] == true ) {
                         int temp = e[ i ].to ;
                         start[ temp ] = temp ;
                         pre [ temp ] = x ;
                         DFS ( temp , x ) ;
                 }
         }
 }

 QAQ Query_Tree ( int q , int w , int i ) {//线段树查询
         if ( q <= tr[i].l && w >= tr[i].r ) return tr[i].mintr;
         else {
                 int mid = ( tr[ i ].l + tr[ i ].r ) >>  ;
                 if ( q > mid ) return Query_Tree ( q , w , i <<  | ) ;
                 else if ( w <= mid ) return Query_Tree ( q , w , i <<  ) ;
                 else return gmin ( Query_Tree ( q , w , i <<  |  ) , Query_Tree ( q , w , i <<  ) ) ;
         }
 }

 void Solve ( const int x , const int y ) {
         int px = x , py = y ;
         while ( start[ px ] != start[ py ] ) {//不在同一条链上
                 if ( DFN[ start[ px ] ] > DFN[ start[ py ] ] ) {//px跳
                         Ans = gmin ( Ans , Query_Tree ( DFN[start[ px ]] , DFN[px] ,  ) ) ;
                         px = pre[ start[ px ] ] ;
                 }
                 else {//py跳
                         Ans = gmin ( Ans , Query_Tree ( DFN[start[ py ]] , DFN[py] ,  ) ) ;
                         py = pre[ start[ py ] ] ;
                 }
         }

         if ( px == py ) return ;
         int dfn_px = DFN[ px ] , dfn_py = DFN[ py ] ;
         if ( dfn_px  > dfn_py ) gswap ( dfn_px , dfn_py ) ;//不加这句话会炸栈
         Ans = gmin ( Ans , Query_Tree ( dfn_px + , dfn_py ,  ) );
 }

 void DEBUG__ ( int n ){
         putchar ( '\n' ) ;
         for ( int i =  ; i <= n ; ++i )printf ("%d : %d %d\n", i , E_val[rank[ i ] ] , E_val[ i ]) ;
         putchar ( '\n' ) ;
 }
 void DEBUG_ ( int m ) {
         putchar('\n');
         for ( int i =  ; i <= m ; ++i ) printf ("%d %d %d\n" , MST_e[ i ].x , MST_e[ i ].y , MST_e[ i ].val) ;
 }
 int main ( ) {
         int N , M , Q , _x , _y ;
         scanf ( "%d%d" , &N , &M ) ;
         for ( int i =  ; i <= M ; ++i )//读入
                 scanf ( "%d%d%d" , &MST_e[ i ].x , &MST_e[ i ].y , &MST_e[ i ].val ) ;
         MST ( N , M ) ;//最大生成树
         for ( int i =  ; i <= N ; ++i ) {//第一遍DFS
                 if ( !vis[i] ) {
                         Init_DFS ( i , i ) ;
                         start[ i ] = i ;
                         E_val[ i ] = INF ;
                 }
         }

         //DEBUG_( M );
         for ( int i =  ; i <= N ; ++i ) {//第二遍重儿子优先的DFS
                 if ( vis[ i ] ) {
                         DFS ( i , i ) ;
                 }
         }

         Build_Tree (  , dfs_num ,  ) ;//建树 

         //DEBUG__( dfs_num ) ;
         scanf ( "%d" , &Q ) ;
         while ( Q-- ){
                 Ans = INF ;//设置最大值
                 scanf ( "%d%d" , &_x , &_y ) ;
                 if ( Check ( _x , _y ) ) {//在一棵树上可相互到达
                         Solve ( _x , _y ) ;
                         printf ( "%lld\n" , Ans ) ;
                 }
                 else printf("-1\n");
         }
         return  ;
 }

解法二：

倍(béi)增算法

 /*
     树上倍增
     Code By SHHHS
     2016-10-04 12:20:10
 */
 #include "bits/stdc++.h"

 using namespace std;
 struct MST { int x,y,val;};
 struct Edge{int to,next,val;};
 const int INF =  ;
 const int maxN =  ;

 MST MST_e[ maxN ] ;
 Edge e[ maxN ] ;
 int father[maxN],deep[maxN],fa[maxN][],g[maxN][],head[maxN],cnt;
 bool vis[maxN];

 inline bool cmp ( MST x , MST y ) {  return x.val > y.val ; }
 inline void Init ( int n ) { for ( int i= ; i<=n ; ++i ) father[ i ] = i ;}
 int getfa( int x ){ return father[ x ] == x ? x : father[ x ] = getfa( father[ x ] ) ; }
 inline void Union_Set ( const int x , const int y ){ father[ x ] = y ; }
 inline int gmin ( int x , int y ) { return x > y ? y : x ;}
 inline void gswap ( int &x , int &y ) { int temp = x ; x = y ; y = temp ; }

 void DFS ( int x , int pre ) {
         vis[ x ] = true ;
         for ( int i= ; i<= ; ++i ) {
                 if ( deep[ x ] < (  << i ) ) break ;
                 fa[ x ][ i ] = fa[ fa[ x ][ i -  ] ][ i -  ] ;
                 g[ x ][ i ] = gmin ( g[ x ][ i -  ] , g[ fa[ x ][ i -  ] ][ i -  ] ) ;
         }
         for ( int i=head[ x ] ; i ; i=e[ i ].next ){
                 int temp = e[ i ].to ;
                 if( vis[ temp ] ||temp == pre ) continue;
                 fa[ temp ][  ] = x ;g[ temp ][  ] = e[ i ].val ;
                 deep[ temp ] = deep[ x ] +  ;
                 DFS ( temp , x ) ;
         }
 }

 void Add_Edge ( const int x , const int y , const int _val ) {
         e[ ++cnt ].to = y ;
         e[ cnt ].val = _val ;
         e[ cnt ].next = head[ x ] ;
         head[ x ] = cnt ;
 } 

 int LCA ( int x , int y ) {
         if ( deep[ x ] < deep[ y ] )gswap( x , y ) ;
         int t = deep[ x ] - deep[ y ] ;
         for ( int i= ; i<= ; ++i ) if( (  << i ) & t ) x = fa[ x ][ i ] ;
         if( x == y ) return x ;
         for ( int i= ; i>= ; --i ) {
                 if ( fa[ x ][ i ] == fa[ y ][ i ] ) continue ;
                 x = fa[ x ][ i ] ; y = fa[ y ][ i ] ;
         }
         return fa[ x ][  ] ;
 }

 int solve ( int x , int y ) {
         int ans = INF ;
         if ( deep[ x ] < deep[ y ] )gswap( x , y ) ;
         int t = deep[ x ] - deep[ y ] ;
         for ( int i= ; i<= ; ++i ) if( (  << i ) & t )ans = gmin( ans , g[ x ][ i ] ) ,x = fa[ x ][ i ] ;
         if ( x == y ) return ans ;
         for ( int i= ; i>= ; --i ) {
                 if ( fa[ x ][ i ] == fa[ y ][ i ] ) continue ;
                 ans = gmin ( ans , gmin ( g[ x ][ i ] , g[ y ][ i ] ) ) ;
                 x = fa[ x ][ i ];
                 y = fa[ y ][ i ] ;
         }
         return gmin ( ans ,gmin ( g[ x ][  ] ,g[ y ][  ] ) ) ;
 }

 void Kruskal ( int N , int M ) {
         int cnt_ =  ;
         Init ( N ) ;
         sort ( MST_e +  , MST_e + M +  , cmp ) ;
         for ( int i =  ; i <= M ; ++i ) {
                 int px = getfa ( MST_e[i].x ) ;
                 int py = getfa ( MST_e[i].y ) ;
                 if ( px == py ) continue ;
                 else {
                         Union_Set ( px , py ) ;
                         Add_Edge ( MST_e[i].x , MST_e[i].y , MST_e[i].val ) ;
                         Add_Edge ( MST_e[i].y  , MST_e[i].x , MST_e[i].val ) ;
                         ++cnt_ ;
                 }
                 if ( cnt_ == N -  ) break ;
         }
 }

 int main ( ) {
         memset ( g , / , sizeof( g ) ) ;
         int N , M , x , y , Q ;
         scanf ( "%d%d" , &N , &M ) ;
         for ( int i= ; i<=M ; i++ )
                 scanf( "%d%d%d" , &MST_e[ i ].x , &MST_e[ i ].y , &MST_e[ i ].val ) ;
         Kruskal ( N , M ) ;
         for ( int i= ; i<=N ; ++i )
                 if( !vis[ i ] )
                         DFS ( i , i ) ;
         scanf ( "%d" , &Q ) ;
         while ( Q-- ) {
                 scanf( "%d%d" , &x , &y ) ;
                 if ( getfa( x ) != getfa( y ) )printf( "-1\n" ) ;
                 else  {
                         int lca = LCA ( x , y ) ;
                         printf ( "%d\n" , gmin ( solve( lca , x ) , solve ( lca , y ) ) ) ;
                 }
         }
         return ;
 }

2016-10-02 19:52:23

(完)