【Cf #503 B】The hat(二分)

时间:2022-12-30 08:07:18

【Cf #503 B】The hat(二分)

为什么Cf上所有的交互题都是$binary \; Search$。。。

把序列分成前后两个相等的部分,每一个都可以看成一条斜率为正负$1$的折线。我们把他们放在一起,显然,当折线的交点的横坐标为整数时有解。

我们考虑序列元素$a_{i}, a_{i + \frac{n}{2}}$,他们的差的奇偶性对于每一个$i$都是一样的,因为随着横坐标的增加,纵坐标之差要么不变,要么加减$2$。

显然如果我们询问$a_{1}, a_{1 + \frac{n}{2}}$的差是奇数,那就不可能存在解了。

我们把折线的左右边界设成重合,也就是第一条折线的右边界的点就是第二条折线左边界的点。不考虑边界处相交时,显然两条折线是交错的,于是必定有交点。

我们只要求出任意一组解就可以了,于是可以二分,可以快速判断左右区间中哪一个一定存在解,根据交错必定有解就可以了。

 

$\bigodot$技巧&套路:

  • 根据奇偶性可以证明将问题简化
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#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100005;

int n, a[N];

int Ask(int p) {
  cout << "? " << p << endl;
  cin >> a[p];
  cout << "? " << p + n / 2 << endl;
  cin >> a[p + n / 2];
  if (a[p] == a[p + n / 2]) {
    cout << "! " << p << endl;
    exit(0);
  }
  return a[p] < a[p + n / 2];
}

int main() {
  scanf("%d", &n);
  int type = Ask(1);
  if ((a[1] - a[1 + n / 2]) & 1) {
    cout << "! -1" << endl;
    return 0;
  }
  int nl = 2, nr = n / 2;
  for (int md; nl <= nr; ) {
    md = (nl + nr) >> 1;
    if (Ask(md) == type) {
      nl = md + 1;
    } else {
      nr = md - 1;
    }
  }
  
  return 0;
}
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