子串 (substring.cpp/c/pas) 题目链接
【问题描述】
有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。现在要从字符串 A 中取出 k 个 互不重叠 的非空子串，然后把这 k 个子串按照其在字符串 A 中出现的顺序依次连接起来得到一
个新的字符串，请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等？注意：子串取出的位置不同也认为是不同的方案 。
【输入格式】
输入文件名为 substring.in。
第一行是三个正整数 n，m，k，分别表示字符串 A 的长度，字符串 B 的长度，以及问题描述中所提到的 k，每两个整数之间用一个空格隔开。
第二行包含一个长度为 n 的字符串，表示字符串 A。
第三行包含一个长度为 m 的字符串，表示字符串 B。
【输出格式】
输出文件名为 substring.out。
输出共一行，包含一个整数，表示所求方案数。 由于答案可能很大，所以这里要求对输出答案对 1,000,000,007 取模 的结果。
【输入输出样例 1】
substring.in
6 3 1
aabaab
aab
substring.out
2
【输入输出样例 2】
substring.in
6 3 2
aabaab
aab
substring.out
7
【输入输出样例 3】
substring.in
6 3 3
aabaab
aab
substring.out
7
【题解】
NOIP2015Day2T2
一道好好的DP题
我们用dp[i][j][k]表示在B串中匹配i个，在A串中匹配到的位置为j，共使用k个子串的方案总数，则dp[i][j][k]=Σdp[i-1][j'][k-1] +dp[i-1][j-1][k]
那么，对于Σ可以用前缀和优化，这样的时间就可以卡进去了，但是空间还是要炸，所以我们采用滚动数组来优化空间即可。详见代码。
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=1000+5,M=200+5;
const int mod=1e9+7;
char s1[N],s2[M];
int n,m,K;
int dp[2][N][M],sum[2][N][M];
//dp[i][j][k]=Σdp[i-1][j'][k-1](1<=j'<=j-1) +dp[i-1][j-1][k]
int main(){
scanf("%d%d%d%s%s",&n,&m,&K,s1+1,s2+1);
memset(dp,0,sizeof dp);
memset(sum,0,sizeof sum);
int I=0,J=1;
for (int i=1;i<=n;i++){
if (s2[1]==s1[i])
dp[0][i][1]=1;
sum[0][i][1]=sum[0][i-1][1]+dp[0][i][1];
}
for (int i=2;i<=m;i++,I^=1,J^=1){
memset(dp[J],0,sizeof dp[J]);
memset(sum[J],0,sizeof sum[J]);
for (int j=1;j<=n;j++){
if (s2[i]!=s1[j])
continue;
for (int k=1;k<=K;k++)
if (j>=2)
dp[J][j][k]=(sum[I][j-1][k-1]+dp[I][j-1][k])%mod;
else
dp[J][j][k]=dp[I][j-1][k];
}
for (int k=1;k<=K;k++)
for (int j=1;j<=n;j++)
sum[J][j][k]=(sum[J][j-1][k]+dp[J][j][k])%mod;
}
printf("%d",sum[I][n][K]);
return 0;
}