洛谷P3390【模板】矩阵快速幂——矩阵运算入门笔记

时间：2023-12-11 09:06:08

作为一个因为极度畏惧数学

而选择成为一名OIer的蒟蒻

终于还是迎来了要面对的这一天

一般题目中矩阵运算好像只用到矩阵乘法

(或许只是蒟蒻我做的题太少)

而且矩阵的乘法也是较难理解的一部分

所以就简单讲讲矩阵乘法

洛谷P3390【模板】矩阵快速幂——矩阵运算入门笔记

如图

矩阵A*B就是用A的每一行依次乘B的每一列

具体就是A的第i行中每一个数对应相乘B的第j列每个数

每个相乘所得结果相加

最后放置于C矩阵的第i行第j号位

所以矩阵乘法中A的列数必须等于B的行数

(虽然第一次看确实有些绕，但它用起来真的妙啊~妙啊~)

上一个矩阵A*B的代码

(这里以正方形矩阵为例)

for(ll i=1;i<=n;i++)//枚举A的每一行
for(ll j=1;j<=n;j++)//枚举B的每一列
for(ll k=1;k<=n;k++)//k既是A的列数，也是B的行数
C.a[i][j]+=A.a[i][k]*B.a[k][j];

这里运算的复杂度为O(n^3)

一般题目已经够用

有O(n^2.7)的算法太 太 太复杂

所以其实可以不用在意的啦

神奇的一点

矩阵乘法也是支持结合律的！！！

但是它不支持分配律

这是很重要的一点

因为这决定了他也同样可以快速幂

(你别告诉我不知道快速幂是什么 = = )

所以就先上一道最最基础的矩阵运算入门操作

题目传送门 啦~啦~啦~

题目描述

给定n*n的矩阵A，求A^k

输入输出格式

输入格式：

第一行，n,k

第2至n+1行，每行n个数，第i+1行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素

输出格式：

输出A^k

共n行，每行n个数，第i行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素，每个元素模10^9+7

输入样例

2 1

1 1

1 1

输出样例

1 1

1 1

说明

n<=100, k<=10^12, |矩阵元素|<=1000

这次具体解释看代码注释啦~啦~啦~

(不要吐槽我的蜜汁缩进)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll read()
{
    ll f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return x*f;
}

void print(int x)
{
    if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}

ll n,m;
ll ans;
const ll mod=1000000000+7;
struct node{ll a[110][110];}d;
//用结构体储存矩阵，以便调用快速幂后返回整个矩阵

node quick_pow(node f,ll k)
{
    if(k==1) return f;
    //若指数为1，则直接返回矩阵

    else if(k%2==1)
    {
        //指数为奇数，返回k-1次方乘一次方
        node temp=quick_pow(f,k-1);
        node ans;
        for(ll i=1;i<=n;i++)
        for(ll j=1;j<=n;j++)
        for(ll k=1;k<=n;k++)
        ans.a[i][j]+=(f.a[i][k]*temp.a[k][j])%mod,ans.a[i][j]%=mod;
        return ans;
    }

    else if(k%2==0)
    {
        //指数为偶数，计算矩阵的k/2次方，在返回平方
        node temp=quick_pow(f,k/2);
        node ans;
        for(ll i=1;i<=n;i++)
        for(ll j=1;j<=n;j++)
        for(ll k=1;k<=n;k++)
        ans.a[i][j]+=(temp.a[i][k]*temp.a[k][j])%mod,ans.a[i][j]%=mod;
        return ans;
    }
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    for(ll j=1;j<=n;j++)
    d.a[i][j]=read();//读入初始矩阵

    node ans=quick_pow(d,m);//快速幂

    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        for(ll j=1;j<=n;j++)
        print(ans.a[i][j]),printf(" ");
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

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