Python 概率生成问题案例详解

时间:2022-10-06 19:59:22

概率生成问题

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有一枚不均匀的硬币,要求产生均匀的概率分布
有一枚均匀的硬币,要求产生不均匀的概率分布,如 0.25 和 0.75
利用 Rand7() 实现 Rand10()

不均匀硬币 产生等概率

现有一枚不均匀的硬币 coin(),能够返回 0、1 两个值,其概率分别为 0.6、0.4。要求使用这枚硬币,产生均匀的概率分布。即编写一个函数 coin_new() 使得它返回 0、1 的概率均为 0.5。

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# 不均匀硬币,返回 0、1 的概率分别为 0.6、0.4
def coin():
    return 0 if random.randint(1,10) > 4 else 1

统计抛两次硬币的结果的概率分布:

结果 0 1
0 0.60.6=0.36 0.60.4=0.24
1 0.40.6=0.24 0.40.4=0.16

连续抛两枚硬币得到 0 1 和 1 0 的概率分布是相同的。因此这道题的解法就是连续抛两次硬币,如果得到 0 1,返回 0;如果得到 1 0,返回 1;如果两次结果相同,则重新抛。

以此类推,无论这枚不均匀硬币的概率是多少,都可以用这种方法得到等概率的结果。

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ddef coin_new():
    while True:
        a = coin()
        if coin() != a: 
            return a

完整测试代码:

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def coin():
    return 0 if random.randint(1,10) > 4 else 1
 
def coin_new():
    while True:
        a = coin()
        if coin() != a: 
            return a
if __name__ == '__main__':
    a = 0
    b = 0
    n = 100000
    for _ in range(n):
        if coin_new():a += 1
        if coin():b += 1
 
    print(f"1:{a/n},1:{b/n}")

均匀硬币 产生不等概率

现有一枚均匀的硬币 coin(),能够返回 0、1 两个值,其概率均为 0.5。要求编写一个函数 coin_new(),使得它返回指定的 0、1 概率分布。

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# 均匀硬币
def coin():
    return random.randint(0,1

P(0) = 1/4,P(1) = 3/4

对于均匀硬币而言,连续抛两次,得到 0 0、0 1、1 0、1 1 的概率均为 1/4。显然,只需要连续抛两次硬币,如果得到 0 0,返回 0,其他情况返回 1。

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def coin_new():
    return coin() or coin()

P(0) = 1/3,P(1) = 2/3

连续抛两次硬币。如果得到 1 1,返回 0;如果得到 1 0 或 0 1,返回 1;如果得到 0 0,继续抛硬币。

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def coin_new():
    while True:
        a, b = coin(), coin()
        if a & b: return 0
        if a | b: return 1

P(0) = 0.3,P(1) = 0.7

每抛一次硬币,会得到二进制数的一位,连续抛 4 次硬币,可以等概率生成 [0, 15] 的每个数,记为 x。去掉 [10, 15],剩下 [0, 9] 的每个数依然是等概率的。如果 x ∈ [ 0 , 2 ] x \in [0, 2] x∈[0,2],返回 0; x ∈ [ 4 , 9 ] x \in [4, 9] x∈[4,9],返回 1; x ≥ 10 x ≥ 10 x≥10,重复上述过程。

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def coin_new():
    while True:
        x = 0
        for _ in range(4):
            x = (x << 1) + coin()
        if x <= 2: return 0
        if x <= 9: return 1

总结

每抛一次硬币,会得到二进制数的一位,连续抛 k 次硬币,可以等概率生成 [ 0 , 2 k − 1 ] [0, 2^k-1] [0,2k−1] 的每个数在 [ 0 , 2 k − 1 ] [0, 2^k-1] [0,2k−1][ 中,选取 m 个数返回 0,n 个数返回 1,则 0、1 的概率分别为 m m + n \frac{m}{m+n} m+nm​ 、 n m + n \frac{n}{m+n} m+nn​。

关于 k 的选择,最少需要满足 N < = 2 k − 1 N <= 2^k-1 N<=2k−1,N 是生成对应概率分布至少需要多少个不同数字。比如要生成 1/3、2/3 的分布,至少需要 3 个不同数字,则 N = 3, k = 2;要生成 3/10、7/10 的分布,至少需要 10 个数字,则 N = 10, k = 4。

k 最多则没有限制,我们总可以通过抛更多次硬币来解决问题,只需要把无用的数字舍弃即可。但我们的目的是尽可能减少无用数字的比例,因为每次遇到无用数字时,都需要重新生成新的数字。

Rand7 生成 Rand10

已有方法 Rand7() 可生成 1 到 7 范围内的均匀随机整数,试写一个方法 Rand10() 生成 1 到 10 范围内的均匀随机整数。

抛硬币可以看作是 Rand2(),均匀生成 0、1 两个整数。如何根据 Rand2() 生成 Rand10()?将每次抛硬币的结果,看作二进制的每一位,就可以得到 [ 0 , 2 k − 1 ] [0, 2^k-1] [0,2k−1] 范围内的均匀随机整数。只需要抛 4 次硬币,就能得到 [0, 15] 范围的整数。返回 [1, 10] 范围的整数,其他情况则重新抛硬币。

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def rand10():
    while True:
        x = 0
        for _ in range(4):
            x = x << 1 + rand2()
            
        if 1 <= x <= 10: return x

取 Rand7() - 1 作为对应的 7 进制位。每执行 k 次 Rand7(),将得到一个 k 位的 7 进制整数,在 [ 0 , 7 k − 1 ] [0, 7^k-1] [0,7k−1] 范围内均匀分布。

只需执行 k = 2 次 Rand7(),就可以得到范围为 [0, 48] 的均匀整数:

当 x ∈ [ 1 , 10 ] x \in [1, 10] x∈[1,10] 时返回 x,否则重新计算:

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def rand10():
    while True:
        x = (rand7() - 1) * 7 + (rand7() - 1);
        if 1 <= x <= 10: return x

进一步优化

选择 [1, 40] 范围里的数,通过取余运算来得到 [1, 10] 范围的数:

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def rand10():
    while True:
        x = (rand7() - 1) * 7 + (rand7() - 1)
        if 1 <= x <= 40:
            return x % 10 + 1

对于上面这 9 个无用数字,计算 x % 40 可以得到 [0, 8] 范围的均匀随机整数。此时再调用一次 Rand7(),计算 (x % 40) * 7 + Rand7(),这相当于 Rand9() * 7 + Rand7()。显然,可以得到 [1, 63] 范围的均匀随机整数。这时 [1, 60] 范围里的数都可以用来作取余运算,只有 61、62、63 共 3 个无用数字:

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def rand10():
    while True:
        x = (rand7() - 1) * 7 + (rand7() - 1)
        if 1 <= x <= 40:
            return x % 10 + 1  
            
        x = (x % 40) * 7 + rand7() # 1~63
        if x <= 60: return x % 10 + 1

对于 61、62、63,再调用一次 Rand7(),计算 (x - 61) * 7 + Rand7(),相当于 Rand3() * 7 + Rand7(),可以得到 [1, 21] 范围的均匀随机整数,这时再作取余运算,只有 1 个无用数字(21):

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def rand10():
    while True:
        x = (rand7() - 1) * 7 + (rand7() - 1)
        if 1 <= x <= 40:
            return x % 10 + 1  
            
        x = (x % 40) * 7 + rand7() # 1~63
        if x <= 60: return x % 10 + 1
 
        x = (x - 61) * 7 + 7 # 1~21
        if x <= 20: return x % 10 + 1

每次 while 执行的时候,只有 1 个无用数字(21)会被舍弃,重新执行的概率很低。

RandM 生成 RandN

已知 RandM() 可以等概率的生成 [0, M-1] 范围的随机整数,那么执行 k 次,每次都得到 M 进制的一位,可以等概率生成 [ 0 , M k − 1 ] [0, M^k-1] [0,Mk−1] 范围的随机整数,记为 x。

RandN 至少需要 N 个均匀随机整数,因此只需要取 k,使得 M k − 1 > = N M^k-1 >= N Mk−1>=N 即可,此时有多种方式得到 RandN:
一种是只在 x ∈ [ 0 , N − 1 ] x \in [0, N-1] x∈[0,N−1] 时返回 x,另一种是利用取余运算,在保证等概率的前提下,尽可能多的利用生成的数字,从而减少舍弃的数字比例,降低 while 重复执行的概率。

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