leetcode -- Burst Balloons -- 重点dp

https://leetcode.com/problems/burst-balloons/

类似于矩阵连乘的问题，但与house robber问题不一样。这里是2D dp，决策变量是在那个位置burst，类似于划分问题。

这里dp是 bottom to up 思想。
参考：http://bookshadow.com/weblog/2015/11/30/leetcode-burst-balloons/
以及https://leetcode.com/discuss/72216/share-some-analysis-and-explanations

dp[l][r]表示扎破(l, r)范围内所有气球获得的最大硬币数，不含边界；

一开始我们对input的nums数组左右两边分别加上1，然后求d[0][n-1]就行

l与r的跨度k从2开始逐渐增大；对于d矩阵我们初始化为0，逐个斜对角线赋值，即l - r == k. 因为只有在k == 2的时候，即[l, r]区间内有一个气球的时候，才会有值，所以从k == 2开始。

我们如何求dp[l][r]呢？这里我们用最后一个气球作为分类，在(l,r)区间burst 气球的方案可以按最后剩下的那个气球是哪个来分类，如果最后剩下的是第 l<i<r 个气球，那么dp[l][r]（关于i） = nums[l] * nums[i] * nums[r] + dp[l][i] + dp[i][r]。因此我们可以选取这些方案中最大的。

然后再要循环l-r了，这里从第k == 2开始，即在nums上，l从0开始一直到n-k-1, 对应r = k - l。 模拟如下。

• 当k == 2时，l = 0, r = 2; l = 1, r = 3; ……
• 当k == 3时，l = 0, r = 3; l = 1, r = 4;…..
• …..k继续增大

要有画面感！！k从小一直增加到大，好像建造金字塔一样，最底层砖头最多，越往上越少。最顶上就是我们要求的值。更准确地说应该是建造一面矩形的墙，如下图。如果用矩阵理解的话，就是一直在给对角线赋值，直到右上角。

三重循环依次枚举范围跨度k，左边界l，中点m；右边界r = l + k；

状态转移方程在形式上有点类似于Floyd最短路算法。

class Solution(object):
    def maxCoins(self, nums):
        """ :type nums: List[int] :rtype: int """
        nums = [1] + [i for i in nums if i > 0] + [1]#这里nums可能有0，有0的话就不用管，略过。
        n = len(nums)
        dp = [[0]*n for x in xrange(n)]

        for k in xrange(2, n):#自底向上，相当于摆金字塔。
            for left in xrange(0, n - k):#用金字塔理解，从这一层的最左边一块砖开始摆放
                right = left + k
                for i in xrange(left + 1,right):
                    dp[left][right] = max(dp[left][right],
                           nums[left] * nums[i] * nums[right] + dp[left][i] + dp[i][right])
        return dp[0][n - 1]

自己重写的code

class Solution(object):
    def maxCoins(self, nums):
        """ :type nums: List[int] :rtype: int """
        if len(nums) == 0: return 0
        nums = [1] + nums + [1]#这里可以像ref一样，把nums里面的0排除掉
        size = len(nums)
        dp = [[0]*len(nums) for x in range(len(nums))]#这样初始化，[0]*len(nums)是[0,0,0...]

        for k in xrange(2, size):
            for i in xrange(size - k):
                j = i + k
                p = i + 1
                while p < j:
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][p] + dp[p][j] + nums[i]*nums[p]*nums[j])
                    p += 1
        return dp[0][size - 1]