首先看一个问题,假设在一根
θ
米长绳子的绳子上面任意作n个记号,取其中离端点最近的作为样本x(1),那么样本的期望是多少?
因为x(1)是样本最小,所以
F(x≤x1)=1−F(x≥x1)=1−(θ−x1θ)n
注意到
F(x1)=∫x10f(x)dx
E(x1)=∫θ0f(x1)x1dx1=F(θ)∗θ−∫θ0F(x1)dx1
经计算得:F(θ)∗θ=θ...(1)
∫θ0F(x1)dx1=∫θ0(1−(θ−x1θ)n)dx1=θ−θ(n+1)
带入上式得:E(x1)=θ(n+1)
=================我是分割线===========================
有了上面的基础,我们来看一个更加复杂的问题:一个1米长的绳子,如果切割n次,那么最短的一段的期望是多少?
这个问题看似与上面的相似,其实不同。其本质区别在于这里的n次取样是相互影响的。为了解决这个问题,我们可以模仿问题1的解决思路。
把最短的长度计作
x1,x为任意样本
.
注意到F(x≤x1)=1−F(x≥x1)=1−(1−nx1)(n−1)
理解:这个式子可以理解为让先保证每一段绳子都有x1,然后将剩下的部分进行分割然后分配给前面的绳子.
E(x1)=∫1n0x1f(x1)dx1=F(1n)∗1n−∫1n0F(x1)∗dx1...(1)
F(1n)∗1n=1n
∫1n0F(x1)∗dx1=1n−1n∫10tn−1dt....（换元计算）
=1n−1n2
所以带入计算得到E(x1)=1n2
