max(X,Y),min(X,Y)的期望求解
@(概率论)
核心是去max和min符号。
max(X,Y)=12(X+Y+|X−Y|);min(X,Y)=12(X+Y−|X−Y|);
举个应用的例子：
随机变量X,Y相互独立同分布，均服从正态分布 N(μ,σ2) ,求max(X,Y),min(X,Y)的数学期望。
分析：首先可设：
U=X−μσ,V=Y−μσ
则，U,V服从N(0,1)分布。
X=μ+σU,Y=μ+σV
因此，
max(X,Y)=σ⋅max(U,V)+μ
min(X,Y)=σ⋅min(U,V)+μ
问题转化到求解max(U,V)，min(U,V).
E(max(U,V))=E(σ⋅max(U,V)+μ)=σE(max(U,V))+μ;E(min(U,V))=E(σ⋅min(U,V)+μ)=σE(min(U,V))+μ
又由：
max(U,V)=12(U+V+|U−V|);min(U,V)=12(U+V−|U−V|);其中EU=0,EV=0
可以得到:
E(max(U,V))=12E|U−V|
E(min(U,V))=−12E|U−V|
问题归约为求解 E|U−V|
不出所料，仍然需要用到伽马函数求解。
再快速复习一下伽马函数：
Γ(x)=∫+∞0tx−1e−tdt
令
t→t2
Γ(x)=2∫+∞0t2x−1e−t2dt
且 Γ(12)=π‾‾√,Γ(1)=1,Γ(x+1)=xΓ(x)
令Z = U-V,可知
Z∼N(0,2)
fZ(z)=12π√e−z24
E|U−V|=E|Z|=∫+∞−∞|z|fZ(z)dz=2∫+∞0zfZ(z)dz=2∫+∞0z12π‾‾√e−z24dz=12π‾‾√2⋅2⋅2∫+∞0z2e−(z2)2dz2=12π‾‾√2⋅2⋅Γ(1)=2π‾‾√
回代：
E(max(X,Y))=μ+σ1π√
E(min(X,Y))=μ−σ1π√