计算牛顿插值公式的步骤
- 作差商表
- 写出牛顿插值多项式（表中对角线上各差商值就是 P ( x ) P(x) P(x) 的各项系数）
- 计算插值点的近似值
例： 给出 f ( x ) f(x) f(x) 的函数表
| x i x_i xi | 0.40 | 0.55 | 0.65 | 0.80 | 0.90 | 1.05 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x_i) $ | 0.41075 | 0.57815 | 0.69675 | 0…88811 | 1.02652 | 1.25382 |
求四次牛顿插值多项式，由此求 f ( 0.596 ) f(0.596) f(0.596) 并估计误差
解： 表中给出 6 个节点，可以构造五次牛顿插值多项式，但题中只要求四次，故可选**最接近 0.596 **的前 5 个节点，首先构造差商表
| x i x_i xi | $ f(x_i) $ | 一阶差商 | 二阶差商 | 三阶差商 | 四阶差商 | 五阶差商 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.40 | 0.41075 | |||||
| 0.55 | 0.57815 | 1.11600 | ||||
| 0.65 | 0.69675 | 1.18600 | 0.28000 | |||
| 0.80 | 0…88811 | 1.27573 | 0.35893 | 0.19733 | ||
| 0.90 | 1.02652 | 1.38410 | 0.43348 | 0.21300 | 0.03134 | |
| 1.05 | 1.25382 | 1.51533 | 0.32493 | 0.22863 | 0.03126 | -0.00012 |
四次牛顿插值多项式
P
4
(
x
)
=
0.41075
+
1.11600
(
x
−
0.4
)
+
0.28000
(
x
−
0.4
)
(
x
−
0.55
)
+
0.19733
(
x
−
0.4
)
(
x
−
0.55
)
(
x
−
0.65
)
+
0.3134
(
x
−
0.4
)
×
(
x
−
0.55
)
(
x
−
0.65
)
(
x
−
0.80
)
P_4(x)=0.41075+1.11600(x-0.4)+0.28000(x-0.4)(x-0.55)+\\0.19733(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)+0.3134(x-0.4)\times\\(x-0.55)(x-0.65)(x-0.80)
P4(x)=0.41075+1.11600(x−0.4)+0.28000(x−0.4)(x−0.55)+0.19733(x−0.4)(x−0.55)(x−0.65)+0.3134(x−0.4)×(x−0.55)(x−0.65)(x−0.80)
故
f
(
0.596
)
≈
P
4
(
0.596
)
=
0.63192
f(0.596)\approx P_4(0.596)=0.63192
f(0.596)≈P4(0.596)=0.63192
常用牛顿插值余项
R
(
x
)
R(x)
R(x) 来估计截断误差。但由于余项
R
(
x
)
=
f
[
x
0
,
x
1
,
⋯
,
x
n
,
x
]
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
⋯
(
x
−
x
n
)
R(x)=f[\ x_0\ ,x_1\ ,\cdots\ ,x_n\ ,x\ ](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)
R(x)=f[ x0 ,x1 ,⋯ ,xn ,x ](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn) 与
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的值有关，故不可能准确计算
R
(
x
)
R(x)
R(x) ，只能对其进行估计。例如，当
n
+
1
n+1
n+1 阶差商变化不剧烈时，可用
f
[
x
0
,
x
1
,
⋯
,
x
n
,
x
n
+
1
]
f[\ x_0\ ,x_1\ ,\cdots\ ,x_n\ ,x_{n+1}\ ]
f[ x0 ,x1 ,⋯ ,xn ,xn+1 ] 替代
f
[
x
0
,
x
1
,
⋯
,
x
n
,
x
]
f[\ x_0\ ,x_1\ ,\cdots\ ,x_n\ ,x\ ]
f[ x0 ,x1 ,⋯ ,xn ,x ] ，即取
R
(
x
)
=
f
[
x
0
,
x
1
,
⋯
,
x
n
,
x
n
+
1
]
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
⋯
(
x
−
x
n
)
R(x)=f[\ x_0\ ,x_1\ ,\cdots\ ,x_n\ ,x_{n+1}\ ](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)
R(x)=f[ x0 ,x1 ,⋯ ,xn ,xn+1 ](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn)
则有
∣
R
4
(
0.596
)
∣
=
3.623
×
1
0
−
9
|R_4(0.596)|=3.623\times10^{-9}
∣R4(0.596)∣=3.623×10−9
这说明截断误差很小，可以忽略不计