题目描述
n次向一个栈中加入0或1中随机1个，如果一次加入0时栈顶元素为1，则将这两个元素弹栈。问最终栈中元素个数的期望是多少。
输入
一行一个正整数 n 。
输出
一行一个实数，表示期望剩下的人数，四舍五入保留三位小数。
样例输入
10
样例输出
4.168
题解
概率期望dp
显然任何时刻栈中的元素自底至顶一定是若干个0+若干个1。
但是如果设状态$p[i][j][k]$表示前$i$次操作，栈中$j$个0，$k$个1的概率，复杂度是$O(n^3)$的，显然会TLE。
注意到$0$的个数对状态转移是没有影响的，而期望在任何时刻都具有可加性，因此可以设$f[i][j]$表示前$i$次操作，栈中$j$个1的期望元素个数。
那么直接考虑新加入一个是0还是1，看一下长度是增加还是减少即可。
这里有一个问题：每次增加或减少的长度是多少？由于我们设的是总情况的期望，而期望等于 概率*权值 ，这种情况的权值为1，因此期望值就是这种情况的概率。
所以还需要维护一个$p[i][j]$表示前$i$次操作，栈中$j$个1的概率。每次使用概率转移期望即可。
时间复杂度$O(n^2)$
#include <cstdio>
#define N 2010
double p[N][N] , f[N][N];
int main()
{
int n , i , j;
double ans = 0;
scanf("%d" , &n) , p[0][0] = 1;
for(i = 0 ; i < n ; i ++ )
{
p[i + 1][1] += p[i][0] / 2 , f[i + 1][1] += (f[i][0] + p[i][0]) / 2;
p[i + 1][0] += p[i][0] / 2 , f[i + 1][0] += (f[i][0] + p[i][0]) / 2;
for(j = 1 ; j < n ; j ++ )
{
p[i + 1][j + 1] += p[i][j] / 2 , f[i + 1][j + 1] += (f[i][j] + p[i][j]) / 2;
p[i + 1][j - 1] += p[i][j] / 2 , f[i + 1][j - 1] += (f[i][j] - p[i][j]) / 2;
}
}
for(i = 0 ; i <= n ; i ++ ) ans += f[n][i];
printf("%.3lf\n" , ans);
return 0;
}