支持向量机（一）——深入理解函数间隔与几何间隔

1.支持向量机和logistic函数的有什么区别

实践发现，在所给的例子中，两种方法线性划分两类事物时得到的线性分类器的效果差不多。那具体的差别在哪呢？
SVM更关心的是靠近中间分割线的点，让他们尽可能地原理中间线，而不是在所有点上达到最优，因为那样的话，要使得一部分点靠近中间线来换取另外一部分点更加原理中间线。因此支持向量机和和逻辑斯蒂回归的不同点，一个是考虑局部（不关心已经确定远离的点，更考虑靠近中间分割线的点），一个是考虑全局（已经原理的点可能通过调整中间线使其能够更加远离）

2. 函数间隔和几何间隔

首先我们定义超平面的表达式为y=ωTx+b${\omega }^{T}x+b$，然后熟悉一下一个点(x,y)到Ax+By+C=0，的距离公式是Ax+By+CA2+B2√$\frac{Ax+By+C}{\sqrt{A^2+B^2}}$，其次我们要清楚我们的任务是找到离超平面最近的点，并使它最远。

2.1 函数间隔

接着来看函数间隔的定义：给定一个训练样本(xi,yi)$(x_i,y_i)$，x是特征，y是结果标签，i表示第i个样本。定义函数间隔为：

γiˆ=yi(w∗xi+b)$\widehat{{\gamma }_i}=y_i(w\ast x_i+b)$
由于之前对g(z)进行了定义，当yi=1$y_i=1$时，w∗xi+b≥0$w\ast x_i+b\ge 0$，所以函数间隔实际上是|w∗xi+b|$|w\ast x_i+b|$。由于是一个训练样本，那么为了使函数间隔最远（更大的信息确定该样本是正例还是反例），所以，当yi=1$y_i=1$时，我们希望w∗xi+b$w\ast x_i+b$能够非常大，反之是非常小。因此函数间隔代表了我们认为特征是正例还是反例的确信度。
函数间隔如果同时扩大w和b的话，例如将w∗xi+b$w\ast x_i+b$乘个系数2，函数间隔会增大2倍，但是所求的超平面w∗xi+b=0$w\ast x_i+b=0$不会变化（注意这里一个是超平面概念，一个是函数间隔概念）
刚刚我们定义个函数间隔是针对某一个样本的，现在我们针对全局样本的定义的函数间隔：
γˆ=mini=1,...,Nγˆi$\hat{\gamma }=\underset{i=1,...,N}{min}{\hat{\gamma }}_i$
意思就是找到训练样本中函数间隔最小的那个样本，并且要让它的函数间隔最大。

2.2 几何间隔

几何间隔首先简单一点说就是点到直线距离，如图

假设我们有B点所在的w∗xi+b=0$w\ast x_i+b=0$，任何其他一点，比如A到该面的距离以γi${\gamma }^i$表示，假设B就是A在分割面上的投影。W是法向量，则单位向量就是ω||ω||$\frac{\omega }{||\omega ||}$。A点坐标是(xi,yi)$(x_i,y_i)$。所以B点是x=xi−γi∗ω||ω||$x=x_i-{\gamma }^i\ast \frac{\omega }{||\omega ||}$（初中数学知识），带入到所需要求的超平面w∗xi+b=0$w\ast x_i+b=0$，就得到以下公式：

看吧，几何距离实际上就是点到直接距离，换一种写法：

当||w||等于1的时候，函数间隔就和几何间隔一样，可以理解为函数间隔是几何间隔没有除以||w||的表达，几何间隔是函数间隔归一化的结果。这是为什么呢？因为函数间隔是我们定义的，在定义的时候就有几何间隔的色彩。几何间隔最大的优势就是不管将w和b扩大几倍，几何间隔都没有影响。
同样，定义全局的几何间隔为
几何间隔与函数间隔的关系就是：

γ=γˆ||ω||$\gamma =\frac{\hat{\gamma }}{||\omega ||}$