二维平面的运动类型总结

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• 1. 二维平面的运动模型

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参考:

论文: Image Alignment and Stitching: A Tutorial 2006

1. 二维平面的运动模型

参考论文: 4-7页

上图为2D平面的基本运动模型示意图. 每种运动模型的数学表示如下:

注: 下面所有公式中 $\bar x$xˉ 形式表示齐次坐标.

(1) Translation: $\boldsymbol x^{'} = \boldsymbol x + \boldsymbol t$x′=x+t 具有2DOF：tx, ty
$\boldsymbol x^{'} = [\boldsymbol I | \boldsymbol t]\boldsymbol{\bar{x}} \tag{1.1.1}$x′=[I∣t]xˉ(1.1.1)

(2) Euclidean(Rotation + Translation): 具有 3DOF，tx, tx, $\theta$θ
$\boldsymbol x^{'} = [\boldsymbol R | \boldsymbol t] \bar x \tag{1.2.1}$x′=[R∣t]xˉ(1.2.1)
其中:
$\boldsymbol R = \left[ \begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{matrix} \right] \tag{1.2.2}$R=[cosθsinθ​−sinθcosθ​](1.2.2)
为一正交归一化矩阵(orthonormal matrix), $\boldsymbol R \boldsymbol R^T = \boldsymbol I$RRT=I and $|\boldsymbol R| = 1$∣R∣=1 .

(3) Similarity(Scaled Rotation): $\boldsymbol x^{'} = s \boldsymbol R \boldsymbol x + \boldsymbol t$x′=sRx+t 或 具有 4DOF， tx, tx, $\theta$θ , s
$\boldsymbol x^{'} = [s\boldsymbol R | \boldsymbol t] \boldsymbol{\bar x} = \left[ \begin{matrix} a & -b & t_x\\ b & a & y_y \end{matrix} \right] \boldsymbol{\bar{x}} \tag{1.3.1}$x′=[sR∣t]xˉ=[ab​−ba​tx​yy​​]xˉ(1.3.1)
(4) Affine: $\boldsymbol x^{'} = \boldsymbol A \boldsymbol{\bar x}$x′=Axˉ , 其中 $\boldsymbol A$A 为任意的 $2 \times 3$2×3 的矩阵. 即: 6DOF, tx, ty, a00, a01, a11, a12
$\boldsymbol x^{'} = \left[ \begin{matrix} a_{00} & a_{01} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} \end{matrix} \right] \boldsymbol{\bar x} \tag{1.4.1}$x′=[a00​a10​​a01​a11​​a01​a12​​]xˉ(1.4.1)

(5) Projective: $\boldsymbol{ \bar{x}^{'}} = \boldsymbol{\bar{H}} \boldsymbol{\bar{x}}$xˉ′=Hˉxˉ , 其中 $\boldsymbol{\bar H}$Hˉ 为任意 $3 \times 3$3×3 矩阵. 求得的齐次坐标 $\boldsymbol{\bar{x}^{'}}$xˉ′ 必须经过归一化才能得到其正确的坐标: 8DOF (H矩阵有9个元素，但只有元素之间的比率才是有意义的，因而只有8个DOF)
$x^{'} = \frac{h_{00}x + h_{01}y + h_{02}}{h_{20}x + h_{21}y + h_{22}} \\ y^{'} = \frac{h_{10}x + h_{11}y + h_{12}}{h_{20}x + h_{21}y + h_{22}} \tag{1.5.1}$x′=h20​x+h21​y+h22​h00​x+h01​y+h02​​y′=h20​x+h21​y+h22​h10​x+h11​y+h12​​(1.5.1)